与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(4) $y = \sin^{-1}\frac{2}{x}$ ($x \geq 2$)と(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(4) $y = \sin^{-1}\frac{2}{x}$ ($x \geq 2$)と(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

(4) $y = \sin^{-1}\frac{2}{x}$ の微分

逆三角関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ を利用します。ここで、$u = \frac{2}{x}$ です。

まず、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2}{x}) = -\frac{2}{x^2}$ を計算します。

次に、$y$ を $x$ で微分すると

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x})^2}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2})$$

$$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2-4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-4}} \cdot (-\frac{2}{x^2})$$

$x \geq 2$ なので、$|x| = x$。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}$$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分

合成関数の微分を行います。まず、$y = \sqrt{u}$ とおき、$u = \tan^{-1}x$ とします。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ であり、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$ です。

よって、$y$ を $x$ で微分すると

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$$

$$= \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$