与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(4) $y = \sin^{-1}\frac{2}{x}$ ($x \geq 2$)と(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分を求めます。

解析学微分逆三角関数合成関数微分公式
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ここでは、(4) y=sin12xy = \sin^{-1}\frac{2}{x} (x2x \geq 2)と(6) y=tan1xy = \sqrt{\tan^{-1}x} の微分を求めます。

2. 解き方の手順

(4) y=sin12xy = \sin^{-1}\frac{2}{x} の微分
逆三角関数の微分公式 ddxsin1u=11u2dudx \frac{d}{dx} \sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx} を利用します。ここで、u=2xu = \frac{2}{x} です。
まず、dudx=ddx(2x)=2x2 \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2}{x}) = -\frac{2}{x^2} を計算します。
次に、yyxx で微分すると
dydx=11(2x)2(2x2)=114x2(2x2) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x})^2}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2})
=1x24x2(2x2)=xx24(2x2) = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2-4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-4}} \cdot (-\frac{2}{x^2})
x2x \geq 2 なので、x=x|x| = x
dydx=xx24(2x2)=2xx24 \frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}
(6) y=tan1xy = \sqrt{\tan^{-1}x} の微分
合成関数の微分を行います。まず、y=uy = \sqrt{u} とおき、u=tan1xu = \tan^{-1}x とします。
dydu=12u\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}} であり、dudx=11+x2\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2} です。
よって、yyxx で微分すると
dydx=dydududx=12tan1x11+x2 \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}
=12(1+x2)tan1x = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}

3. 最終的な答え

(4) dydx=2xx24\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}
(6) dydx=12(1+x2)tan1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}

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