問題74では、与えられた関数 $f(x)$ が指定された区間 $I$ において増加関数であるか、減少関数であるかを調べます。 問題75では、与えられた関数の増加区間と減少区間を求めます。

1. 問題の内容

問題74では、与えられた関数 $f(x)$ が指定された区間 $I$ において増加関数であるか、減少関数であるかを調べます。

問題75では、与えられた関数の増加区間と減少区間を求めます。

2. 解き方の手順

問題74:

(1) 関数 $f(x) = x^3 + 4x + 5$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 4$

区間 $I = (-\infty, \infty)$ で $f'(x)$ の符号を調べます。

$3x^2 + 4$ は常に正なので、$f'(x) > 0$ です。

したがって、区間 $(-\infty, \infty)$ で $f(x)$ は増加関数です。

(2) 関数 $f(x) = x - e^x$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 1 - e^x$

区間 $I = (0, \infty)$ で $f'(x)$ の符号を調べます。

$x > 0$ のとき、$e^x > 1$ なので、$1 - e^x < 0$ です。

したがって、$f'(x) < 0$ となり、区間 $(0, \infty)$ で $f(x)$ は減少関数です。

問題75:

(1) 関数 $y = x^2 - 6x + 7$ の導関数を求めます。

$y' = 2x - 6$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x - 6 = 0$

$x = 3$

$x < 3$ のとき、$y' < 0$ となり、$y$ は減少します。

$x > 3$ のとき、$y' > 0$ となり、$y$ は増加します。

したがって、x < 3 で減少, x > 3 で増加.

(2) 関数 $y = 2x^3 - 9x^2$ の導関数を求めます。

$y' = 6x^2 - 18x$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 18x = 0$

$6x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$x < 0$ のとき、$y' > 0$ となり、$y$ は増加します。

$0 < x < 3$ のとき、$y' < 0$ となり、$y$ は減少します。

$x > 3$ のとき、$y' > 0$ となり、$y$ は増加します。

したがって、x < 0 で増加, 0 < x < 3 で減少、x > 3 で増加.

3. 最終的な答え

問題74:

(1) 区間 $(-\infty, \infty)$ で増加

(2) 区間 $(0, \infty)$ で減少

問題75:

(1) $x < 3$ で減少, $x > 3$ で増加

(2) $x < 0$ で増加, $0 < x < 3$ で減少、 $x > 3$ で増加