問題74では、与えられた関数 $f(x)$ が指定された区間 $I$ において増加関数であるか、減少関数であるかを調べます。 問題75では、与えられた関数の増加区間と減少区間を求めます。

解析学導関数関数の増減微分
2025/7/9

1. 問題の内容

問題74では、与えられた関数 f(x)f(x) が指定された区間 II において増加関数であるか、減少関数であるかを調べます。
問題75では、与えられた関数の増加区間と減少区間を求めます。

2. 解き方の手順

問題74:
(1) 関数 f(x)=x3+4x+5f(x) = x^3 + 4x + 5 の導関数を求めます。
f(x)=3x2+4f'(x) = 3x^2 + 4
区間 I=(,)I = (-\infty, \infty)f(x)f'(x) の符号を調べます。
3x2+43x^2 + 4 は常に正なので、f(x)>0f'(x) > 0 です。
したがって、区間 (,)(-\infty, \infty)f(x)f(x) は増加関数です。
(2) 関数 f(x)=xexf(x) = x - e^x の導関数を求めます。
f(x)=1exf'(x) = 1 - e^x
区間 I=(0,)I = (0, \infty)f(x)f'(x) の符号を調べます。
x>0x > 0 のとき、ex>1e^x > 1 なので、1ex<01 - e^x < 0 です。
したがって、f(x)<0f'(x) < 0 となり、区間 (0,)(0, \infty)f(x)f(x) は減少関数です。
問題75:
(1) 関数 y=x26x+7y = x^2 - 6x + 7 の導関数を求めます。
y=2x6y' = 2x - 6
y=0y' = 0 となる xx を求めます。
2x6=02x - 6 = 0
x=3x = 3
x<3x < 3 のとき、y<0y' < 0 となり、yy は減少します。
x>3x > 3 のとき、y>0y' > 0 となり、yy は増加します。
したがって、x < 3 で減少, x > 3 で増加.
(2) 関数 y=2x39x2y = 2x^3 - 9x^2 の導関数を求めます。
y=6x218xy' = 6x^2 - 18x
y=0y' = 0 となる xx を求めます。
6x218x=06x^2 - 18x = 0
6x(x3)=06x(x - 3) = 0
x=0,3x = 0, 3
x<0x < 0 のとき、y>0y' > 0 となり、yy は増加します。
0<x<30 < x < 3 のとき、y<0y' < 0 となり、yy は減少します。
x>3x > 3 のとき、y>0y' > 0 となり、yy は増加します。
したがって、x < 0 で増加, 0 < x < 3 で減少、x > 3 で増加.

3. 最終的な答え

問題74:
(1) 区間 (,)(-\infty, \infty) で増加
(2) 区間 (0,)(0, \infty) で減少
問題75:
(1) x<3x < 3 で減少, x>3x > 3 で増加
(2) x<0x < 0 で増加, 0<x<30 < x < 3 で減少、 x>3x > 3 で増加

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