以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)$

解析学極限関数の極限無理関数代数的操作
2025/7/9

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。
limx(x23x+1+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)

2. 解き方の手順

xx \to -\inftyであることに注意して計算を進めます。
まず、x23x+1x\sqrt{x^2 - 3x + 1} - xを掛けて割ることで、式の形を変形します。
x23x+1+x=(x23x+1+x)(x23x+1x)x23x+1x=(x23x+1)x2x23x+1x=3x+1x23x+1x\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x = \frac{(\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)(\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x)}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{(x^2 - 3x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x}
次に、分母と分子をxxで割ります。x<0x < 0に注意すると、x2=x=x\sqrt{x^2} = |x| = -xとなるので、
3x+1x23x+1x=3+1xx23x+1x1=3+1x13x+1x21\frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 3x + 1}}{x} - 1} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1}
ここで、xx \to -\inftyのとき、1x0\frac{1}{x} \to 0および1x20\frac{1}{x^2} \to 0であることに注意すると、
limx3+1x13x+1x21=311=311=32=32\lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{-3}{-\sqrt{1} - 1} = \frac{-3}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}

3. 最終的な答え

32\frac{3}{2}

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