以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$であることに注意して計算を進めます。

まず、$\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x$を掛けて割ることで、式の形を変形します。

$\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x = \frac{(\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)(\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x)}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{(x^2 - 3x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x}$

次に、分母と分子を$x$で割ります。$x < 0$に注意すると、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$となるので、

$\frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 3x + 1}}{x} - 1} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1}$

ここで、$x \to -\infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$および$\frac{1}{x^2} \to 0$であることに注意すると、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{-3}{-\sqrt{1} - 1} = \frac{-3}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$