以下の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)$解析学極限関数の極限無理関数代数的操作2025/7/91. 問題の内容以下の極限を求める問題です。limx→−∞(x2−3x+1+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)limx→−∞(x2−3x+1+x)2. 解き方の手順x→−∞x \to -\inftyx→−∞であることに注意して計算を進めます。まず、x2−3x+1−x\sqrt{x^2 - 3x + 1} - xx2−3x+1−xを掛けて割ることで、式の形を変形します。x2−3x+1+x=(x2−3x+1+x)(x2−3x+1−x)x2−3x+1−x=(x2−3x+1)−x2x2−3x+1−x=−3x+1x2−3x+1−x\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x = \frac{(\sqrt{x^2 - 3x + 1} + x)(\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x)}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{(x^2 - 3x + 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x}x2−3x+1+x=x2−3x+1−x(x2−3x+1+x)(x2−3x+1−x)=x2−3x+1−x(x2−3x+1)−x2=x2−3x+1−x−3x+1次に、分母と分子をxxxで割ります。x<0x < 0x<0に注意すると、x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -xx2=∣x∣=−xとなるので、−3x+1x2−3x+1−x=−3+1xx2−3x+1x−1=−3+1x−1−3x+1x2−1\frac{-3x + 1}{\sqrt{x^2 - 3x + 1} - x} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 3x + 1}}{x} - 1} = \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1}x2−3x+1−x−3x+1=xx2−3x+1−1−3+x1=−1−x3+x21−1−3+x1ここで、x→−∞x \to -\inftyx→−∞のとき、1x→0\frac{1}{x} \to 0x1→0および1x2→0\frac{1}{x^2} \to 0x21→0であることに注意すると、limx→−∞−3+1x−1−3x+1x2−1=−3−1−1=−3−1−1=−3−2=32\lim_{x \to -\infty} \frac{-3 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{-3}{-\sqrt{1} - 1} = \frac{-3}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}limx→−∞−1−x3+x21−1−3+x1=−1−1−3=−1−1−3=−2−3=233. 最終的な答え32\frac{3}{2}23