問題73: 文字 "kokugo" の6文字すべてを並べるとき、並べ方は何通りあるか。 問題74: 右の図のような道のある町がある。次の最短経路は何通りあるか。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。 問題75: 数字 1, 2, 2, 3, 3 の5個すべてを並べて5桁の整数を作るとき、次の整数は何個できるか。 (1) 5桁の整数 (2) 5桁の奇数 問題76: 赤球1個、白球2個、青球5個の8個の球すべてを並べるとき、次のような並べ方は何通りあるか。 (1) 両端に青球が並ぶ。 問題85: 1個のさいころを投げるとき、次の事象の確率を求めよ。 (1) 奇数の目が出る事象 (2) 2以下の目が出る事象 (3) 2の目が出る事象 問題86: 赤球4個と白球2個が入っている袋から、1個の球を取り出すとき、それが赤球である確率を求めよ。 問題88: 1枚の100円硬貨を3回投げるとき、3回とも同じ面が出る確率を求めよ。 問題89: 2個のさいころを同時に投げるとき、次の事象の確率を求めよ。 (1) 目の和が9である事象 (2) 目の積が4である事象 問題90: A, B, C の3人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。 (1) Aだけが勝つ確率 (2) あいこになる確率 問題91: 4本の当たりくじを含む15本のくじがある。このくじから同時に2本引くとき、2本とも当たりくじである確率を求めよ。 問題92: 白球5個と赤球4個が入っている袋がある。この袋から同時に3個の球を取り出すとき... (問題文が途切れている)

1. 問題の内容

問題73: 文字 "kokugo" の6文字すべてを並べるとき、並べ方は何通りあるか。

問題74: 右の図のような道のある町がある。次の最短経路は何通りあるか。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

問題75: 数字 1, 2, 2, 3, 3 の5個すべてを並べて5桁の整数を作るとき、次の整数は何個できるか。

(1) 5桁の整数

(2) 5桁の奇数

問題76: 赤球1個、白球2個、青球5個の8個の球すべてを並べるとき、次のような並べ方は何通りあるか。

(1) 両端に青球が並ぶ。

問題85: 1個のさいころを投げるとき、次の事象の確率を求めよ。

(1) 奇数の目が出る事象

(2) 2以下の目が出る事象

(3) 2の目が出る事象

問題86: 赤球4個と白球2個が入っている袋から、1個の球を取り出すとき、それが赤球である確率を求めよ。

問題88: 1枚の100円硬貨を3回投げるとき、3回とも同じ面が出る確率を求めよ。

問題89: 2個のさいころを同時に投げるとき、次の事象の確率を求めよ。

(1) 目の和が9である事象

(2) 目の積が4である事象

問題90: A, B, C の3人がじゃんけんを1回するとき、次の確率を求めよ。

(1) Aだけが勝つ確率

(2) あいこになる確率

問題91: 4本の当たりくじを含む15本のくじがある。このくじから同時に2本引くとき、2本とも当たりくじである確率を求めよ。

問題92: 白球5個と赤球4個が入っている袋がある。この袋から同時に3個の球を取り出すとき... (問題文が途切れている)

2. 解き方の手順

問題73:

6文字のうち、'o'が2つあるので、並べ方は $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ 通り。

問題74:

(1) AからBまで行く最短経路は、右に5回、上に3回進む必要がある。したがって、並べ方は $\binom{8}{3} = \binom{8}{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

(2) AからCまで行く最短経路は、右に2回、上に2回進む必要がある。CからBまで行く最短経路は、右に3回、上に1回進む必要がある。したがって、並べ方は $\binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 4 = 24$ 通り。

(3) AからCを通らずにBまで行く経路は、AからBまで行く経路からAからCを通ってBまで行く経路を引けばよい。$56 - 24 = 32$ 通り。

問題75:

(1) 5桁の整数を作るには、5個の数字を並べる。2が2つ、3が2つあるので、並べ方は $\frac{5!}{2!2!} = \frac{120}{4} = 30$ 通り。

(2) 5桁の奇数を作るには、末尾が1または3である必要がある。

末尾が1の場合、残りの4つの数字(2,2,3,3)を並べるので、$\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ 通り。

末尾が3の場合、残りの4つの数字(1,2,2,3)を並べるので、$\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り。

したがって、合計で $6 + 12 = 18$ 通り。

問題76:

(1) 両端に青球が並ぶ場合、青球5個のうち2個を両端に固定し、残りの6個(赤1,白2,青3)を並べる。並べ方は $\frac{6!}{1!2!3!} = \frac{720}{12} = 60$ 通り。

問題85:

(1) 奇数の目が出る確率は、1,3,5の3通りなので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

(2) 2以下の目が出る確率は、1,2の2通りなので、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

(3) 2の目が出る確率は、$\frac{1}{6}$。

問題86:

赤球4個、白球2個の合計6個の球がある。赤球を取り出す確率は、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

問題88:

硬貨を3回投げて、3回とも同じ面が出る確率は、3回とも表が出るか、3回とも裏が出るかの2通り。1回の試行で同じ面が出る確率は $\frac{1}{2}$。

したがって、確率は $2 \times (\frac{1}{2})^3 = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$。

問題89:

(1) 目の和が9になる組み合わせは、(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)の4通り。したがって、確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$。

(2) 目の積が4になる組み合わせは、(1,4), (2,2), (4,1)の3通り。したがって、確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。

問題90:

(1) Aだけが勝つ確率は、Aがグーで勝ち、BとCがチョキ、Aがチョキで勝ち、BとCがパー、Aがパーで勝ち、BとCがグー、の3通り。それぞれの場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$ なので、確率は $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$。

(2) あいこになる確率は、全員が同じ手を出す場合と、全員が異なる手を出す場合がある。

全員が同じ手を出す確率は、$\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$。

全員が異なる手を出す確率は、例えばAがグー、Bがチョキ、Cがパーの場合などがあり、これは3! = 6通り。確率は $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$。

したがって、あいこになる確率は $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

問題91:

15本中4本が当たりくじなので、2本とも当たりを引く確率は、$\frac{\binom{4}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{\frac{4 \times 3}{2}}{\frac{15 \times 14}{2}} = \frac{6}{105} = \frac{2}{35}$。

3. 最終的な答え

問題73: 360通り

問題74: (1) 56通り (2) 24通り (3) 32通り

問題75: (1) 30個 (2) 18個

問題76: (1) 60通り

問題85: (1) $\frac{1}{2}$ (2) $\frac{1}{3}$ (3) $\frac{1}{6}$

問題86: $\frac{2}{3}$

問題88: $\frac{1}{4}$

問題89: (1) $\frac{1}{9}$ (2) $\frac{1}{12}$

問題90: (1) $\frac{1}{9}$ (2) $\frac{1}{3}$

問題91: $\frac{2}{35}$

問題92: (問題文が途切れているため、解答できません)