R甲山を流れるS吉川の10箇所から採取した水に含まれる特定物質Xの濃度(%)のデータが与えられています。これらのデータを用いて、S吉川における物質Xの真の濃度$\mu$が12であるかどうかを有意水準5%で検定します。ただし、S吉川のポイント全体は正規母集団をなすと仮定します。

1. 問題の内容

R甲山を流れるS吉川の10箇所から採取した水に含まれる特定物質Xの濃度(%)のデータが与えられています。これらのデータを用いて、S吉川における物質Xの真の濃度$\mu$が12であるかどうかを有意水準5%で検定します。ただし、S吉川のポイント全体は正規母集団をなすと仮定します。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説と対立仮説を設定します。

* 帰無仮説 ($H_0$): $\mu = 12$

* 対立仮説 ($H_1$): $\mu \neq 12$

(2) 標本平均($\bar{x}$)と標本標準偏差($s$)を計算します。

与えられたデータは以下の通りです。

13.1, 12.6, 13.4, 11.6, 14.1, 11.8, 12.4, 10.9, 11.2, 12.5

標本平均$\bar{x}$は、

$\bar{x} = \frac{13.1 + 12.6 + 13.4 + 11.6 + 14.1 + 11.8 + 12.4 + 10.9 + 11.2 + 12.5}{10} = \frac{123.6}{10} = 12.36$

標本標準偏差$s$は、

$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

データの各値から標本平均を引いた値の二乗和は、

$(13.1-12.36)^2 + (12.6-12.36)^2 + (13.4-12.36)^2 + (11.6-12.36)^2 + (14.1-12.36)^2 + (11.8-12.36)^2 + (12.4-12.36)^2 + (10.9-12.36)^2 + (11.2-12.36)^2 + (12.5-12.36)^2 = 0.5476 + 0.0576 + 1.0816 + 0.5776 + 3.0276 + 0.3136 + 0.0016 + 2.1316 + 1.3456 + 0.0196 = 9.104$

したがって、標本標準偏差$s$は、

$s = \sqrt{\frac{9.104}{10-1}} = \sqrt{\frac{9.104}{9}} = \sqrt{1.011555} \approx 1.00576$

(3) 検定統計量を計算します。

標本数が小さいため、t検定を行います。検定統計量$t$は、

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 12.36$, $\mu_0 = 12$, $s = 1.00576$, $n = 10$なので、

$t = \frac{12.36 - 12}{1.00576 / \sqrt{10}} = \frac{0.36}{1.00576 / 3.16228} = \frac{0.36}{0.31806} \approx 1.132$

(4) 自由度と有意水準から棄却域を求めます。

自由度は$n-1 = 10-1 = 9$です。有意水準は$\alpha = 0.05$で、両側検定なので、$\alpha/2 = 0.025$のt値を求めます。

t分布表から、自由度9、有意水準0.025のt値は2.262です。

したがって、棄却域は$t < -2.262$または$t > 2.262$です。

(5) 検定統計量と棄却域を比較し、帰無仮説を棄却するかどうかを決定します。

計算された検定統計量$t = 1.132$は、棄却域($t < -2.262$または$t > 2.262$)に含まれません。

したがって、帰無仮説を棄却できません。

3. 最終的な答え

S吉川における物質Xの真の濃度は12であるという帰無仮説は棄却されません。したがって、有意水準5%で、S吉川における物質Xの真の濃度が12であると結論付けられます。