(1) 1円, 3円, 5円, 7円, 9円のコインを使って10円を支払う方法の総数 $OP_{10}$ を求める。 (2) 30個のデータがあり、そのうち20個の平均値が7、分散が5。残りの10個の平均値が4、分散が8である。データ全体の平均値と分散を求める。

はい、承知いたしました。画像にある2つの問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 1円, 3円, 5円, 7円, 9円のコインを使って10円を支払う方法の総数 $OP_{10}$ を求める。

(2) 30個のデータがあり、そのうち20個の平均値が7、分散が5。残りの10個の平均値が4、分散が8である。データ全体の平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) $OP_{10}$ の計算

10円を奇数円のコインのみで支払う組み合わせを列挙します。

* 9円 + 1円

* 7円 + 3円

* 7円 + 1円 + 1円 + 1円

* 5円 + 5円

* 5円 + 3円 + 1円 + 1円

* 5円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円

* 3円 + 3円 + 3円 + 1円

* 3円 + 3円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円

* 3円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円

* 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円 + 1円

したがって、合計10通りです。

(2) 全体平均の計算

全体の平均 $\mu$ は、それぞれのグループの平均に、そのグループの要素数をかけたものを足し合わせ、要素数全体で割ることで求められます。

$$$$

\mu = \frac{20 \times 7 + 10 \times 4}{30} = \frac{140 + 40}{30} = \frac{180}{30} = 6

$$$$

全体平均は6です。

(3) 全体分散の計算

全体の分散 $\sigma^2$ は、以下の式で計算できます。

$$$$

\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (\sigma_i^2 + (\mu_i - \mu)^2)

$$$$

ここで、$N$ は全体の要素数、$k$ はグループ数、$n_i$ は各グループの要素数、$\sigma_i^2$ は各グループの分散、$\mu_i$ は各グループの平均、$\mu$ は全体の平均です。

この問題では、$N = 30$、$k = 2$、$n_1 = 20$、$\sigma_1^2 = 5$、$\mu_1 = 7$、$n_2 = 10$、$\sigma_2^2 = 8$、$\mu_2 = 4$、$\mu = 6$ です。

したがって、

$$$$

\sigma^2 = \frac{1}{30} [20 (5 + (7 - 6)^2) + 10 (8 + (4 - 6)^2)]

$$$$

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\sigma^2 = \frac{1}{30} [20 (5 + 1) + 10 (8 + 4)] = \frac{1}{30} [20 \times 6 + 10 \times 12]

$$$$

$$$$

\sigma^2 = \frac{1}{30} [120 + 120] = \frac{240}{30} = 8

$$$$

したがって、全体の分散は8です。

3. 最終的な答え

(1) $OP_{10} = 10$ 通り

(2) 平均値 = 6

(3) 分散 = 8