大学生350人に講義X、Yの履修状況を尋ねた。講義Xの履修者と講義X、Yのどちらも履修していない人の比率が3:1で、講義X、Yをともに履修している人は講義Yのみを履修している人の半数だった。講義X、Yの少なくとも一方は履修している人が287人のとき、講義Yのみを履修している人数を求める。

1. 問題の内容

大学生350人に講義X、Yの履修状況を尋ねた。講義Xの履修者と講義X、Yのどちらも履修していない人の比率が3:1で、講義X、Yをともに履修している人は講義Yのみを履修している人の半数だった。講義X、Yの少なくとも一方は履修している人が287人のとき、講義Yのみを履修している人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体の人数を$N=350$とする。講義Xを履修している人を$X$、講義Yを履修している人を$Y$、どちらも履修していない人を$Z$とする。講義Xの履修者数を$x$、講義Yのみ履修者数を$y$、XとYの両方を履修している人数を$w$とする。XとYの少なくとも一方は履修している人数は287人なので、$x+y+w = 287$が成り立つ。また、XとYのどちらも履修していない人は$z$と表せる。$x+y+w+z=N=350$である。

与えられた条件から、講義Xの履修者とどちらも履修していない人の比率が3:1なので、$x+w:z=3:1$となる。

また、XとYをともに履修している人はYのみを履修している人の半数なので、$w=y/2$となる。

$x+y+w = 287$より、$x+y+y/2=287$だから、$x+\frac{3}{2}y=287$が成り立つ。

$x+y+w+z = 350$より、$287+z=350$だから、$z=350-287=63$となる。

$x+w:z = 3:1$より、$x+w = 3z = 3 \times 63 = 189$となる。

$x+w=189$と$w=y/2$より、$x+y/2=189$となる。

$x+3y/2=287$と$x+y/2=189$の差を計算すると、

$(x+3y/2) - (x+y/2) = 287-189$

$y = 98$となる。

3. 最終的な答え

講義Yのみを履修している人は98人である。