1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。 (1) 8個の玉から2個を選び箱Aに入れる方法は何通りあるか。 (2) 8個の玉から2個ずつ選び箱A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れる方法は何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。

(1) 8個の玉から2個を選び箱Aに入れる方法は何通りあるか。

(2) 8個の玉から2個ずつ選び箱A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉だけを入れる方法は何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cに入れる2個の玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方

8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いる。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) 3つの箱への玉の入れ方

まず、8個から2個を箱Aに入れ、残りの6個から2個を箱Bに入れ、最後に残りの4個から2個を箱Cに入れる方法を計算する。

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$

箱A, Bに5以下の数字、箱Cに6以上の数字を入れる場合

箱A, Bに入れることができる玉は1, 2, 3, 4, 5の5個、箱Cに入れることができる玉は6, 7, 8の3個である。

まず、箱Cに6, 7, 8のうち2個を入れる方法を考える。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$

次に、残りの5個の玉から箱Aと箱Bにそれぞれ2個ずつ入れる。

箱Aに入れる2個の選び方は、残った5個から2個を選ぶので、

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = 10$通り。

残りの3個の玉から箱Bに入れる2個を選ぶ方法は、

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

よって箱Aと箱Bに5以下の数字、箱Cに6以上の数字を入れる入れ方は$3 \times 10 \times 3 = 90$通り。

(3) a, b, cがすべて偶数となる入れ方

a, b, cがすべて偶数となるのは、それぞれの箱に入れる2つの玉の数字がどちらも偶数であるか、どちらも奇数であるかのどちらかである。

1から8までの数字のうち偶数は2, 4, 6, 8の4個、奇数は1, 3, 5, 7の4個である。

3つの箱すべてに偶数の組を入れる場合、箱A, B, Cに入れる玉をそれぞれ偶数から選ぶ必要があるが、偶数の玉は4個しかないのでこれは不可能である。

3つの箱すべてに奇数の組を入れる場合も同様に不可能である。

したがって、a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は存在しない。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方

a, b, cがすべて奇数となる入れ方を求め、全体の入れ方から引けばよい。

a, b, cがすべて奇数になるのは、箱A, B, Cに入れる玉の組み合わせがすべて奇数同士のときである。

箱Aに奇数の玉を2つ入れる方法は$_4C_2 = 6$通り。

箱Bに残りの奇数の玉から2つ入れる方法は$_2C_2 = 1$通り。

箱Cには奇数の玉は残っていないので0通り。

a, b, cがすべて奇数になる入れ方は0通り。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる入れ方は、3つの箱への玉の入れ方の総数から、a,b,cすべてが奇数となる入れ方を引いたものなので、2520 - 0 = 2520通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り, 90通り

(3) 0通り, 2520通り