1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目の数に200円を掛けた金額が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるには500円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金-参加費）を確率変数 $X$ で表す。問1では、$X$ の分散 $V[X]$ を求め、問2では、参加費が600円になった場合の確率変数$Y$の期待値と分散に関する正しい説明を求める。

1. 問題の内容

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目の数に200円を掛けた金額が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるには500円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金-参加費）を確率変数 $X$ で表す。問1では、$X$ の分散 $V[X]$ を求め、問2では、参加費が600円になった場合の確率変数$Y$の期待値と分散に関する正しい説明を求める。

2. 解き方の手順

問1：

まず、確率変数 $X$ の取りうる値を計算する。サイコロの目が1から6なので、賞金は200円、400円、600円、800円、1000円、1200円となる。参加費が500円なので、得られるお金 $X$ は-300円、-100円、100円、300円、500円、700円となる。

次に、$X$ の期待値 $E[X]$ を計算する。各値の確率は全て $\frac{1}{6}$ なので、

$E[X] = \frac{1}{6}(-300 -100 + 100 + 300 + 500 + 700) = \frac{1200}{6} = 200$

次に、$X^2$ の期待値 $E[X^2]$ を計算する。

$E[X^2] = \frac{1}{6}((-300)^2 + (-100)^2 + 100^2 + 300^2 + 500^2 + 700)^2)$

$= \frac{1}{6}(90000 + 10000 + 10000 + 90000 + 250000 + 490000) = \frac{940000}{6} = \frac{470000}{3}$

分散 $V[X]$ は $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ で計算できる。

$V[X] = \frac{470000}{3} - 200^2 = \frac{470000}{3} - 40000 = \frac{470000 - 120000}{3} = \frac{350000}{3}$

3. 最終的な答え

問1: $\frac{350000}{3}$