1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、「出た目×200円」が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに、500円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金 - 参加費）を確率変数 $X$ で表す。このとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求め、ゲームの参加料が600円に変わった場合の（賞金 - 参加費）を表す確率変数を $Y$ とするとき、$Y$ の期待値と分散に関する説明として正しいものを選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、「出た目×200円」が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに、500円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金 - 参加費）を確率変数 $X$ で表す。このとき、$X$ の分散 $V[X]$ を求め、ゲームの参加料が600円に変わった場合の（賞金 - 参加費）を表す確率変数を $Y$ とするとき、$Y$ の期待値と分散に関する説明として正しいものを選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の期待値 $E[X]$ を求める。サイコロの出目は1から6まで等確率であるから、各目の出る確率は $1/6$ である。したがって、賞金の期待値は

$$E[\text{賞金}] = \frac{1}{6}(200 + 400 + 600 + 800 + 1000 + 1200) = \frac{1}{6}(4200) = 700$$

確率変数 $X$ は「賞金 - 参加費」であるから、$X = \text{賞金} - 500$。

したがって、$X$ の期待値は

$$E[X] = E[\text{賞金}] - 500 = 700 - 500 = 200$$

次に、$X^2$ の期待値 $E[X^2]$ を求める。賞金 - 500 = $Z$とおくと、$Z$の取りうる値は $-300, -100, 100, 300, 500, 700$。$X^2=Z^2=(\text{賞金}-500)^2$だから、

$$E[X^2] = E[(\text{賞金} - 500)^2] = \frac{1}{6}((-300)^2 + (-100)^2 + 100^2 + 300^2 + 500^2 + 700^2)$$

$$= \frac{1}{6}(90000 + 10000 + 10000 + 90000 + 250000 + 490000) = \frac{1}{6}(940000) = \frac{470000}{3}$$

$X$ の分散 $V[X]$ は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ で求められる。

$$V[X] = \frac{470000}{3} - (200)^2 = \frac{470000}{3} - 40000 = \frac{470000 - 120000}{3} = \frac{350000}{3}$$

$V[X] = 350000/3$

次に、$Y$ の期待値と分散を考える。$Y = \text{賞金} - 600$。

$E[Y] = E[\text{賞金} - 600] = E[\text{賞金}] - 600 = 700 - 600 = 100$

$V[Y] = V[\text{賞金} - 600] = V[\text{賞金}] = V[X]$

よって、$V[Y] = \frac{350000}{3}$

3. 最終的な答え

Xの分散 V[X]：350000/3

Yの期待値と分散に関する説明として正しいもの：Yの期待値は100円であり、分散はXの分散と等しい。