問題は2つあります。 1つ目の問題は、与えられた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める問題です。ただし、問題文に図形が明示されておらず、答えのみが与えられています（$\frac{16}{15}\pi$）。 2つ目の問題は、曲線 $y = x^2 - x + 1$ に原点から引いた2本の接線と曲線自身で囲まれた部分の面積を求める問題です。 以下、2つ目の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、与えられた図形を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める問題です。ただし、問題文に図形が明示されておらず、答えのみが与えられています（$\frac{16}{15}\pi$）。

2つ目の問題は、曲線 $y = x^2 - x + 1$ に原点から引いた2本の接線と曲線自身で囲まれた部分の面積を求める問題です。

以下、2つ目の問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^2 - x + 1$ 上の点 $(t, t^2 - t + 1)$ における接線を求めます。

$y' = 2x - 1$ なので、接線の傾きは $2t - 1$ となります。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 - t + 1) = (2t - 1)(x - t)$

整理すると、

$y = (2t - 1)x - t^2 + 1$

この接線が原点を通る条件は、 $x = 0$, $y = 0$ を代入して、

$0 = - t^2 + 1$

これを解くと $t = \pm 1$ となります。

したがって、2つの接線は

$y = x$ (when $t = 1$)

$y = -3x$ (when $t = -1$)

となります。

次に、曲線 $y = x^2 - x + 1$ と接線 $y = x$ の交点を求めます。

$x^2 - x + 1 = x$ より、 $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、 $(x - 1)^2 = 0$ なので $x = 1$ です。

同様に、曲線 $y = x^2 - x + 1$ と接線 $y = -3x$ の交点を求めます。

$x^2 - x + 1 = -3x$ より、 $x^2 + 2x + 1 = 0$ となり、 $(x + 1)^2 = 0$ なので $x = -1$ です。

次に、2つの接線の交点を求めます。

$x = -3x$ より $x = 0$ となります。したがって、交点は $(0, 0)$ です。

求める面積は、

$\int_{-1}^{0} (x^2 - x + 1 - (-3x)) dx + \int_{0}^{1} (x^2 - x + 1 - x) dx$

$= \int_{-1}^{0} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx$

$= \int_{-1}^{0} (x + 1)^2 dx + \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$

$= [\frac{1}{3}(x + 1)^3]_{-1}^{0} + [\frac{1}{3}(x - 1)^3]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{3}(1 - 0) + \frac{1}{3}(0 - (-1))$

$= \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$