写像 $f: X \rightarrow Y$ と、$X$ の部分集合 $B, C$、$Y$ の部分集合 $C, D$ について、以下の2つの命題が成り立つことを示す問題です。 (1) $C \subset D \Rightarrow f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ (2) $f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$

1. 問題の内容

写像 $f: X \rightarrow Y$ と、$X$ の部分集合 $B, C$、$Y$ の部分集合 $C, D$ について、以下の2つの命題が成り立つことを示す問題です。

(1) $C \subset D \Rightarrow f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$

(2) $f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$

2. 解き方の手順

(1)

$C \subset D$ を仮定します。このとき、$x \in f^{-1}(C)$ を任意にとると、$f(x) \in C$ が成り立ちます。

$C \subset D$ より、$f(x) \in D$ も成り立ちます。

したがって、$x \in f^{-1}(D)$ となります。

よって、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ が示されました。

(2)

$x \in f^{-1}(C \cap D)$ と仮定すると、$f(x) \in C \cap D$ が成り立ちます。

これは、$f(x) \in C$ かつ $f(x) \in D$ を意味します。

したがって、$x \in f^{-1}(C)$ かつ $x \in f^{-1}(D)$ となり、$x \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

よって、$f^{-1}(C \cap D) \subset f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ が示されました。

次に、$x \in f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ と仮定すると、$x \in f^{-1}(C)$ かつ $x \in f^{-1}(D)$ が成り立ちます。

これは、$f(x) \in C$ かつ $f(x) \in D$ を意味します。

したがって、$f(x) \in C \cap D$ となり、$x \in f^{-1}(C \cap D)$ が成り立ちます。

よって、$f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) \subset f^{-1}(C \cap D)$ が示されました。

以上より、$f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$ が示されました。

3. 最終的な答え

(1) $C \subset D \Rightarrow f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$

(2) $f^{-1}(C \cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D)$