関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ （$-2 \le x \le 1$）の最大値が7であるとき、$c$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ （$-2 \le x \le 1$）の最大値が7であるとき、$c$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + c = 2(x^2 + 2x) + c$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c$

$y = 2((x+1)^2 - 1) + c$

$y = 2(x+1)^2 - 2 + c$

したがって、放物線の頂点の座標は $(-1, -2+c)$ です。また、$x^2$の係数が正であることから、この放物線は下に凸です。

定義域 $-2 \le x \le 1$ における最大値を考えます。

頂点 $x=-1$ は定義域に含まれます。

定義域の端の値を調べます。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2+1)^2 - 2 + c = 2(-1)^2 - 2 + c = 2 - 2 + c = c$

$x = 1$ のとき、$y = 2(1+1)^2 - 2 + c = 2(2)^2 - 2 + c = 8 - 2 + c = 6 + c$

頂点における $y$ 座標は $-2 + c$ です。

$x = 1$ のとき、$y$ 座標は $6 + c$ です。

$x = -2$ のとき、$y$ 座標は $c$ です。

放物線は下に凸なので、$x=-1$ で最小値を取り、最大値は定義域の端点のどちらかで取ります。$1$ と $-2$ を比較すると、$1$ の方が頂点から遠いので、$x=1$ で最大値を取ります。

したがって、$x=1$のとき $y = 6 + c = 7$ となるので、

$c = 7 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

$c = 1$