二次不等式 $\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3} > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

二次不等式 $\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3} > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に6を掛けて係数を整数にします。

$x^2 - 9x + 2 > 0$

次に、二次方程式 $x^2 - 9x + 2 = 0$ の解を求めます。解の公式を使うと、

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)}$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8}}{2}$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{73}}{2}$

したがって、$x = \frac{9 + \sqrt{73}}{2}$ と $x = \frac{9 - \sqrt{73}}{2}$ が解になります。

二次関数のグラフ$y = x^2 - 9x + 2$ は下に凸であるため、$x^2 - 9x + 2 > 0$ となるのは、$x$ が2つの解よりも小さいか大きい場合です。

よって、解は $x < \frac{9 - \sqrt{73}}{2}$ または $x > \frac{9 + \sqrt{73}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$x < \frac{9 - \sqrt{73}}{2}$ または $x > \frac{9 + \sqrt{73}}{2}$