多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ったときの余りが $4$ であり、$x-3$ で割ったときの余りが $-1$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ったときの余りが $4$ であり、$x-3$ で割ったときの余りが $-1$ である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、

$P(-2) = 4$

$P(3) = -1$

$x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$ であるから、$P(x)$ を $x^2 - x - 6$ で割ったときの余りは、一般に $ax+b$ (a, bは定数) とおける。

したがって、ある多項式 $Q(x)$ を用いて

$P(x) = (x^2 - x - 6)Q(x) + ax + b = (x+2)(x-3)Q(x) + ax + b$

と表せる。

$P(-2) = -2a + b = 4$

$P(3) = 3a + b = -1$

この連立方程式を解く。

$3a + b - (-2a + b) = -1 - 4$

$5a = -5$

$a = -1$

$-2(-1) + b = 4$

$2 + b = 4$

$b = 2$

したがって、余りは $-x + 2$ である。

3. 最終的な答え

$-x + 2$