座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2x + ay = 0$ (aは定数) があり、$C$は点$P(3, 3)$を通る。点$P$における$C$の接線を$l$とし、$l$と$y$軸の交点を$Q$とする。 (1) $a$の値を求めよ。また、$C$の中心の座標と半径を求めよ。 (2) $l$の方程式を求めよ。また、点$R$が$C$上（点$P$を除く）を動くとき、$\triangle PQR$の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2x + ay = 0$ (aは定数) があり、$C$は点$P(3, 3)$を通る。点$P$における$C$の接線を$l$とし、$l$と$y$軸の交点を$Q$とする。

(1) $a$の値を求めよ。また、$C$の中心の座標と半径を求めよ。

(2) $l$の方程式を求めよ。また、点$R$が$C$上（点$P$を除く）を動くとき、$\triangle PQR$の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円$C$が点$P(3, 3)$を通るので、$C$の式に$x = 3, y = 3$を代入する。

$3^2 + 3^2 - 2(3) + a(3) = 0$

$9 + 9 - 6 + 3a = 0$

$12 + 3a = 0$

$3a = -12$

$a = -4$

よって、円$C$の式は $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$となる。

これを変形すると、$(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 1 + 4$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

したがって、円$C$の中心の座標は$(1, 2)$、半径は$\sqrt{5}$となる。

(2)

円$C$の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$である。点$P(3, 3)$における接線$l$の方程式を求める。

接線$l$は中心$(1, 2)$と点$P(3, 3)$を結ぶ線分に垂直である。

線分の中点の傾きは $\frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}$である。

したがって、接線$l$の傾きは $-2$である。

点$P(3, 3)$を通り、傾きが$-2$の直線の方程式は、

$y - 3 = -2(x - 3)$

$y - 3 = -2x + 6$

$y = -2x + 9$

よって、接線$l$の方程式は $y = -2x + 9$である。

$l$と$y$軸の交点$Q$は、 $x = 0$を代入して $y = -2(0) + 9 = 9$となるので、$Q(0, 9)$である。

$P(3, 3)$、 $Q(0, 9)$より、$PQ = \sqrt{(3 - 0)^2 + (3 - 9)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

直線$l: 2x + y - 9 = 0$と点$R(x, y)$との距離$d$は、

$d = \frac{|2x + y - 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2x + y - 9|}{\sqrt{5}}$

$\triangle PQR$の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} \times PQ \times d = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times \frac{|2x + y - 9|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{2}|2x + y - 9|$

点$R(x, y)$は円$C:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$上にあるので、$x = 1 + \sqrt{5} \cos \theta$, $y = 2 + \sqrt{5} \sin \theta$とおける。

$2x + y - 9 = 2(1 + \sqrt{5} \cos \theta) + (2 + \sqrt{5} \sin \theta) - 9 = 2 + 2\sqrt{5} \cos \theta + 2 + \sqrt{5} \sin \theta - 9 = 2\sqrt{5} \cos \theta + \sqrt{5} \sin \theta - 5 = \sqrt{5}(2 \cos \theta + \sin \theta) - 5 = \sqrt{5}(\sqrt{5} \sin (\theta + \alpha)) - 5 = 5 \sin(\theta + \alpha) - 5$

ここで、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}, \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

$-1 \le \sin(\theta + \alpha) \le 1$

$-10 \le 5 \sin(\theta + \alpha) - 5 \le 0$

$0 \le |5 \sin(\theta + \alpha) - 5| \le 10$

$S = \frac{3}{2}|2x + y - 9| = \frac{3}{2}|5 \sin(\theta + \alpha) - 5|$

$0 \le S \le \frac{3}{2}(10) = 15$

点$R$が$P$と一致しないとき、$\sin (\theta+\alpha)\neq 1$. よって、$S$の最大値は

1

5.

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$, 中心の座標は $(1, 2)$, 半径は $\sqrt{5}$

(2) $l: y = -2x + 9$, $\triangle PQR$の面積の最大値は 15