半円の中に三角形が内接しており、その三角形の一つの角が $28^\circ$、弧に対する円周角が $30^\circ$ であるとき、もう一つの角 $x$ を求めなさい。

## 数学の問題の回答

1. 問題の内容

半円の中に三角形が内接しており、その三角形の一つの角が $28^\circ$、弧に対する円周角が $30^\circ$ であるとき、もう一つの角 $x$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、半円に対する円周角は $90^\circ$ であることを利用します。

図において、点Oは円の中心であるため、半円の弧に対する円周角は直角になります。

次に、同じ弧に対する円周角は等しいことを利用します。

円周角が$30^\circ$と与えられている箇所に対応する弧に対して、もう一つの円周角を考えます。

それは、点Oの反対側の三角形の頂点から引かれた線によって形成される円周角であり、$30^\circ$と等しいです。

三角形の内角の和は $180^\circ$ であることを利用して、$x$ を求めます。

三角形の内角は、$28^\circ$, $x$、そして、$30^\circ+90^\circ=120^\circ$と$90^\circ$ を補完する角となります。

この補完する角は$90^\circ-30^\circ=60^\circ$です。

したがって、$x + 28^\circ + 30^\circ + (90^\circ - 30^\circ)=x + 28^\circ + 60^\circ + 30^\circ= 180^\circ$

これより、$x + 28^\circ + (90^\circ + 30^\circ) = 180^\circ$ を満たし、

$28^\circ + x$ に対する、円周角 $30^\circ$ に向かい合う角は、 $90^\circ-30^\circ = 62^\circ$であるため、 $x+62^\circ = 90^\circ$

したがって、$x + 28^\circ + 90^\circ - 30^\circ = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 28^\circ - 60^\circ$

$x = 90^\circ -30^\circ + 28^\circ=62^\circ -28^\circ =62^\circ$.

$x + 28 + 30 = 90$から、$28^\circ + x=180 - (90+30)$

$28^\circ+30^\circ+x =90$.

$x+58 = 90$

$x = 32^\circ$

$x=90^\circ-(28^\circ+30^\circ)$

$x=90^\circ -58^\circ=32^\circ$.

3. 最終的な答え

$x = 32^\circ$