二次関数 $y = -2x^2 + 6x + 3$ を平方完成させる問題です。また、平方完成の結果から、この関数のグラフの頂点を求める必要があります。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -2x^2 + 6x + 3$ を平方完成させる問題です。また、平方完成の結果から、この関数のグラフの頂点を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数 $y = -2x^2 + 6x + 3$ を平方完成します。

1. $x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくり出します。

$y = -2(x^2 - 3x) + 3$

2. 括弧の中を平方完成します。$x$ の係数の半分($-3/2$)の二乗を足して引きます。

$y = -2\left(x^2 - 3x + \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{-3}{2}\right)^2 \right) + 3$

$y = -2\left(\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \right) + 3$

3. 括弧を外します。

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} + 3$

4. 定数項をまとめます。

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} + \frac{6}{2}$

$y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$

したがって、平方完成された式は $y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$ となります。

次に、頂点を求めます。平方完成された式 $y = a(x - h)^2 + k$ の頂点は $(h, k)$ です。したがって、この問題の場合、頂点は $\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ となります。

3. 最終的な答え

平方完成: $y = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}$

頂点: $\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$