ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ と $\vec{b} = (1, -1, 0)$ の両方に垂直な単位ベクトルを全て求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ と $\vec{b} = (1, -1, 0)$ の両方に垂直な単位ベクトルを全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) - (3)(-1) \\ (3)(1) - (2)(0) \\ (2)(-1) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$

次に、得られたベクトル $\vec{c} = (3, 3, -3)$ の大きさを計算します。

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

単位ベクトルは、ベクトルをその大きさで割ることで得られます。したがって、求める単位ベクトルは $\pm \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}$ です。

$\pm \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \pm \frac{1}{3\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ である。