袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。 赤、青、黄色の皿がそれぞれ1枚ずつある。 袋から3個の玉を順に取り出し、それぞれの色の皿に置く。 玉の色と皿の色が一致する枚数をXとする。 (1) X=3となる確率を求めよ。 (2) X=2となる確率を求めよ。 (3) Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている。

赤、青、黄色の皿がそれぞれ1枚ずつある。

袋から3個の玉を順に取り出し、それぞれの色の皿に置く。

玉の色と皿の色が一致する枚数をXとする。

(1) X=3となる確率を求めよ。

(2) X=2となる確率を求めよ。

(3) Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) X=3となる確率

X=3となるのは、取り出した玉の色と皿の色が3つとも一致する場合である。

つまり、取り出した玉の色が赤、青、黄の順である必要がある。

この確率は、以下のようになる。

$P(X=3) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率

X=2となるのは、3つのうち2つの玉の色と皿の色が一致する場合である。

3つのうちどの2つが一致するかで場合分けをする。

一致しない玉の色が赤、青、黄のいずれかであることに注意する。

- 赤の皿の色が一致しない場合：

取り出す玉の順番は、青、黄、赤 or 黄、青、赤のいずれかである。

確率は、 $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times 2 = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}$

赤が一致しない場合、残り2個の色は一致する必要があるため、青、黄 or 黄、青の順番になる。

- 青の皿の色が一致しない場合：

取り出す玉の順番は、赤、黄、青 or 黄、赤、青のいずれかである。

確率は、 $\frac{3}{6} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{4} \times 2 = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}$

青が一致しない場合、残り2個の色は一致する必要があるため、赤、黄 or 黄、赤の順番になる。

- 黄の皿の色が一致しない場合：

取り出す玉の順番は、赤、青、黄 or 青、赤、黄のいずれかである。

確率は、 $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}$

黄が一致しない場合、残り2個の色は一致する必要があるため、赤、青 or 青、赤の順番になる。

したがって、X=2となる確率は、

$P(X=2) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$

(3) Xの期待値

Xの取りうる値は、1, 2, 3である。

X=1となる確率は、

$P(X=1) = 1 - P(X=2) - P(X=3) = 1 - \frac{3}{10} - \frac{1}{20} = 1 - \frac{6}{20} - \frac{1}{20} = \frac{13}{20}$

したがって、Xの期待値は、

$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = 1 \times \frac{13}{20} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{20}$

$E(X) = \frac{13}{20} + \frac{12}{20} + \frac{3}{20} = \frac{28}{20} = \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

(1) X=3となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率: $\frac{3}{10}$

(3) Xの期待値: $\frac{7}{5}$