(4) 6本の平行線と、これらに交わる7本の平行線によってできる平行四辺形は何個あるか。 (5) 男子5人、女子4人の中から4人の代表を選ぶとき、女子が少なくとも1人含まれる方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(4) 6本の平行線と、これらに交わる7本の平行線によってできる平行四辺形は何個あるか。

(5) 男子5人、女子4人の中から4人の代表を選ぶとき、女子が少なくとも1人含まれる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(4)

平行四辺形を作るには、6本の平行線から2本を選び、7本の平行線から2本を選ぶ必要があります。6本の平行線から2本を選ぶ組み合わせの数は $_{6}C_{2}$ であり、7本の平行線から2本を選ぶ組み合わせの数は $_{7}C_{2}$ です。したがって、平行四辺形の総数はこれらを掛け合わせたものです。

$_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

したがって、平行四辺形の総数は $15 \times 21$ となります。

(5)

少なくとも1人の女子が含まれる代表を選ぶ方法は、代表の選び方全体から女子が1人も含まれない選び方を引くことで求められます。

まず、9人の中から4人を選ぶすべての組み合わせの数は $_{9}C_{4}$ です。

$_{9}C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

次に、女子が1人も含まれない選び方、つまり男子5人の中から4人を選ぶ組み合わせの数は $_{5}C_{4}$ です。

$_{5}C_{4} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$

したがって、少なくとも1人の女子が含まれる選び方は $126 - 5$ となります。

3. 最終的な答え

(4) $15 \times 21 = 315$個

(5) $126 - 5 = 121$通り