数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおいて、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

## 問題６

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおいて、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ より、$a_n = 2^n b_n$ である。これを漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ に代入すると、

$2^{n+1} b_{n+1} = 3 \cdot 2^n b_n + 2^n$

両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$

これは、$b_{n+1} - \alpha = \frac{3}{2} (b_n - \alpha)$ の形に変形できる。

$\alpha = \frac{3}{2} \alpha + \frac{1}{2}$ を解くと、 $-\frac{1}{2} \alpha = \frac{1}{2}$ より $\alpha = -1$。

よって、$b_{n+1} + 1 = \frac{3}{2} (b_n + 1)$ となる。数列 $\{b_n + 1\}$ は初項 $b_1 + 1 = \frac{a_1}{2^1} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$、公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。

ゆえに、$b_n + 1 = \frac{3}{2} (\frac{3}{2})^{n-1} = \frac{3}{2}^n$

したがって、$b_n = (\frac{3}{2})^n - 1$

(2) $a_n = 2^n b_n$ より、$a_n = 2^n ((\frac{3}{2})^n - 1) = 3^n - 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = (\frac{3}{2})^n - 1$

(2) $a_n = 3^n - 2^n$