初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$ (n = 1, 2, 3, ...) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$ (n = 1, 2, 3, ...) で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の逆数を取ります。

$a_{n+1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$ の逆数を取ると

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{3a_n + 1}{a_n} = 3 + \frac{1}{a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、

$b_{n+1} = 3 + b_n$

これは等差数列の漸化式です。公差は $3$ です。

また、 $b_1 = \frac{1}{a_1} = \frac{1}{1} = 1$ です。

したがって、$b_n$ の一般項は、

$b_n = b_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$

よって、$b_n = 3n - 2$ です。

$a_n = \frac{1}{b_n}$ より、

$a_n = \frac{1}{3n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{3n-2}$