与えられた式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$ (2) $\sqrt{a^2b^6}$ ($a<0, b>0$) (3) $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{(2-\pi)^2}$

(2) $\sqrt{a^2b^6}$ ($a<0, b>0$)

(3) $\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{A^2} = |A|$ を利用して根号を外します。$\pi \approx 3.14$ であるので、$2-\pi<0$となります。

よって、$\sqrt{(2-\pi)^2} = |2-\pi| = -(2-\pi) = \pi-2$

(2) $\sqrt{a^2b^6} = \sqrt{a^2}\sqrt{b^6} = |a||b^3|$ と変形できます。

$a < 0$ より $|a| = -a$

$b > 0$ より $b^3 > 0$ なので $|b^3| = b^3$

よって、$\sqrt{a^2b^6} = |a||b^3| = -ab^3$

(3) 平方完成を利用して根号の中身を変形します。

$x^2-2x+1 = (x-1)^2$

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

よって、

$\sqrt{x^2-2x+1} - \sqrt{x^2+4x+4} = \sqrt{(x-1)^2} - \sqrt{(x+2)^2} = |x-1| - |x+2|$

場合分けをします。

(i) $x < -2$ のとき、$|x-1| = -(x-1)$, $|x+2| = -(x+2)$ より、

$|x-1| - |x+2| = -(x-1) - (-(x+2)) = -x+1+x+2 = 3$

(ii) $-2 \le x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1)$, $|x+2| = x+2$ より、

$|x-1| - |x+2| = -(x-1) - (x+2) = -x+1-x-2 = -2x-1$

(iii) $1 \le x$ のとき、$|x-1| = x-1$, $|x+2| = x+2$ より、

$|x-1| - |x+2| = (x-1) - (x+2) = x-1-x-2 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\pi - 2$

(2) $-ab^3$

(3)

$x<-2$ のとき $3$

$-2 \le x < 1$ のとき $-2x-1$

$1 \le x$ のとき $-3$