数学的帰納法を用いて、等式 $2 + 3 + 4 + 5 + \dots + (n+1) = \frac{1}{2}n(n+3)$ が成り立つことを証明する。空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、等式 $2 + 3 + 4 + 5 + \dots + (n+1) = \frac{1}{2}n(n+3)$ が成り立つことを証明する。空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

(I) $n=1$ のとき

* 左辺: $2 + (1+1) = 2$. よって、空欄①は

2. * 右辺: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1+3) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$. よって、空欄②は 4, 空欄③は

2.

(II) $n=k$ のとき、(*)が成り立つと仮定すると、

$2 + 3 + 4 + \dots + (k+1) = \frac{1}{2}k(k+3)$ が成り立つ。よって、空欄④は $\frac{1}{2}k(k+3)$.

$n=k+1$ のとき、(*)の左辺は、

$2 + 3 + 4 + \dots + (k+1) + (k+2)$ となる。よって、空欄⑤は $k+2$.

これは、仮定より $\frac{1}{2}k(k+3) + (k+2) = \frac{1}{2}(k^2 + 3k) + (k+2) = \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2k + 4) = \frac{1}{2}(k^2 + 5k + 4) = \frac{1}{2}(k+1)(k+4)$ となる。

右辺は $\frac{1}{2}(k+1)((k+1)+3) = \frac{1}{2}(k+1)(k+4)$ となるので、左辺と右辺は等しい。よって、空欄⑥は $\frac{1}{2}(k+1)(k+4)$.

3. 最終的な答え

① 2

② 4

③ 2

④ $\frac{1}{2}k(k+3)$

⑤ $k+2$

⑥ $\frac{1}{2}(k+1)(k+4)$