1つのサイコロを繰り返し振ります。$k$回目（$k=1,2,3,\dots$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とします。$S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n$（$n=1,2,3,\dots$）と定めます。 (1) $S_1=3$である確率、$S_2=6$である確率をそれぞれ求めなさい。 (2) $S_4=12$である確率を求めなさい。 (3) $S_4=12$であったとき、$S_2=6$である確率を求めなさい。

1. 問題の内容

1つのサイコロを繰り返し振ります。$k$回目（$k=1,2,3,\dots$）に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とします。$S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n$（$n=1,2,3,\dots$）と定めます。

(1) $S_1=3$である確率、$S_2=6$である確率をそれぞれ求めなさい。

(2) $S_4=12$である確率を求めなさい。

(3) $S_4=12$であったとき、$S_2=6$である確率を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$S_1 = x_1$なので、$S_1 = 3$となるのは、$x_1 = 3$のときです。サイコロの目が3である確率は$\frac{1}{6}$です。

$S_2 = x_1 + x_2 = 6$となるのは、以下の組み合わせです。

* $x_1 = 1$のとき、$x_2 = 5$

* $x_1 = 3$のとき、$x_2 = 3$

* $x_1 = 5$のとき、$x_2 = 1$

* $x_1 = 2/2 = 1$のとき、$x_2=5$

* $x_1 = 4/2 = 2$のとき、$x_2=4$

* $x_1 = 6/2 = 3$のとき、$x_2=3$

* $x_1 = 5$のとき、$x_2 = 1$

$x_1 = 1$となるのは、サイコロの目が1のときと、サイコロの目が2のときで、確率は$\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$です。$x_2=5$となるのは、サイコロの目が5のときで、確率は$\frac{1}{6}$です。

$x_1 = 3$となるのは、サイコロの目が3のときと、サイコロの目が6のときで、確率は$\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$です。$x_2=3$となるのは、サイコロの目が3のときと、サイコロの目が6のときで、確率は$\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$です。

$x_1 = 5$となるのは、サイコロの目が5のときで、確率は$\frac{1}{6}$です。$x_2=1$となるのは、サイコロの目が1のときと、サイコロの目が2のときで、確率は$\frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$です。

$P(S_2 = 6) = P(x_1=1)P(x_2=5) + P(x_1=3)P(x_2=3) + P(x_1=5)P(x_2=1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{1+2+1}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

(2)

$S_4 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12$となる確率を求めます。

考えられる組み合わせはたくさんあるので、すべてを列挙するのは困難です。

(3)

$S_4=12$であったとき、$S_2=6$である確率を求めます。

条件付き確率 $P(S_2=6 | S_4=12) = \frac{P(S_2=6 \text{ and } S_4=12)}{P(S_4=12)} = \frac{P(S_2=6 \text{ and } x_3+x_4=6)}{P(S_4=12)}$

(1) $S_1 = 3$である確率は$\frac{1}{6}$

(1) $S_2 = 6$である確率は$\frac{2}{9}$

(1)

$S_1 = 3$ となるのは、1回目のサイコロの目が3のときなので、確率は $\frac{1}{6}$ です。

$S_2 = x_1 + x_2 = 6$ となるのは、

* $x_1 = 1$, $x_2 = 5$: サイコロの目が2, 5のとき。確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

* $x_1 = 3$, $x_2 = 3$: サイコロの目が3, 3のとき。確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

* $x_1 = 5$, $x_2 = 1$: サイコロの目が5, 2のとき。確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

* $x_1 = 1$, $x_2=5$の場合、サイコロの目は2, 5なので$\frac{1}{6} * \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

* $x_1=2, x_2 = 4$の場合、サイコロの目は4, 8になりありえない。確率0

* $x_1 = 3$, $x_2 = 3$: サイコロの目は6,6または3,3なので、$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}+ \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{36}$

* $x_1 = 5$, $x_2 = 1$:サイコロの目は5,2なので$\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}= \frac{1}{36}$

$P(x_1=1)P(x_2=5) = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

$P(x_1=3)P(x_2=3) = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{36}+\frac{1}{36} = \frac{1}{18}$

$P(x_1=5)P(x_2=1) = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{3}\frac{1}{6} = \frac{1}{18}$

$\frac{1}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $S_1=3$である確率は $\frac{1}{6}$

(1) $S_2=6$である確率は $\frac{1}{6}$

(2) $S_4=12$である確率は（計算できず）

(3) $S_4=12$であったとき、$S_2=6$である確率は（計算できず）