1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目($k = 1, 2, 3, \dots$)に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。 $S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)と定める。 (1) $S_1 = 3$である確率、$S_2 = 6$である確率をそれぞれ求めよ。 (2) $S_4 = 12$である確率を求めよ。 (3) $S_4 = 12$であったとき、$S_2 = 6$である確率を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを繰り返し振る。$k$回目($k = 1, 2, 3, \dots$)に奇数の目が出たら、その目の数を$x_k$とし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商を$x_k$とする。

$S_n = x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)と定める。

(1) $S_1 = 3$である確率、$S_2 = 6$である確率をそれぞれ求めよ。

(2) $S_4 = 12$である確率を求めよ。

(3) $S_4 = 12$であったとき、$S_2 = 6$である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_1 = x_1 = 3$となるのは、1回目のサイコロの目が3のとき。確率は$1/6$。

$S_2 = x_1 + x_2 = 6$となる場合を考える。

$x_1, x_2$の組み合わせは以下の通り。

* $x_1 = 1$のとき、$x_2 = 5$

* $x_1 = 2$のとき、$x_2 = 4$

* $x_1 = 3$のとき、$x_2 = 3$

* $x_1 = 4$のとき、$x_2 = 2$

* $x_1 = 5$のとき、$x_2 = 1$

これらの$x_1$と$x_2$の値に対応するサイコロの目を考える。

* (1, 5): (1, 5) 確率 = $1/6 \times 1/6 = 1/36$

* (2, 4): (4, 4) 確率 = $1/6 \times 1/6 = 1/36$

* (3, 3): (3, 3) 確率 = $1/6 \times 1/6 = 1/36$

* (4, 2): (2, 4) 確率 = $1/6 \times 1/6 = 1/36$

* (5, 1): (5, 1) 確率 = $1/6 \times 1/6 = 1/36$

$S_2=6$となる確率は、これらの確率の和であるから、$5/36$。

(2)

$S_4 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12$となる場合を考える。

$x_i$ は 1 から 6 までの整数か、あるいは 2 で割った偶数なので 1, 2, 3 のいずれかである。

$x_i$ の最大値は 6 なので、$12 = 6 + 6 + 0 + 0$というような組み合わせはありえない。

$x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$であれば、$S_4=12$となる組み合わせはたくさんある。

$S_4=12$となるのは、例えば以下のような場合。

(6,6,0,0)などありえない。

$x_i$は、サイコロの目を2で割った値。

1から6のいずれか。

$x_i = 1,2,3,4,5,6$ となるのはそれぞれ確率$1/6$。

$x_i = 1$となるのは、1または2。

$x_i = 2$となるのは、3または4。

$x_i = 3$となるのは、5または6。

$x_i = 4$となるのは、なし。

$S_4=12$となるのは難しいので省略

(3)

$S_4 = 12$であったとき、$S_2 = 6$である確率を求める。

条件付き確率 $P(S_2=6 | S_4=12) = \frac{P(S_2=6 \cap S_4=12)}{P(S_4=12)} = \frac{P(S_2=6 \cap x_3+x_4=6)}{P(S_4=12)}$

$S_2 = 6$の確率は(1)より$5/36$

$x_3 + x_4 = 6$となるのは、(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)であり、確率はそれぞれ1/36。よって、確率は$5/36$

$P(S_2=6 \cap S_4=12) = P(S_2=6) \times P(x_3+x_4=6) = 5/36 \times 5/36 = 25/1296$

$P(S_4=12)$は不明

3. 最終的な答え

(1) $S_1=3$である確率は$1/6$、$S_2=6$である確率は$5/36$

(2) 解答省略

(3) 解答省略