大小2つのサイコロを投げる。大きいサイコロの出た目を2倍、小さいサイコロの出た目に1を加えたものをそれぞれ得点とする。このとき、2つのサイコロを投げたときに得られる得点の分散を求める。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを投げる。大きいサイコロの出た目を2倍、小さいサイコロの出た目に1を加えたものをそれぞれ得点とする。このとき、2つのサイコロを投げたときに得られる得点の分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、大きいサイコロと小さいサイコロの出る目の組み合わせを考える。大きいサイコロの出目は1から6、小さいサイコロの出目も1から6である。

大きいサイコロの得点は$2, 4, 6, 8, 10, 12$、小さいサイコロの得点は$2, 3, 4, 5, 6, 7$となる。

次に、大きいサイコロの得点を$X$, 小さいサイコロの得点を$Y$とする。$X$と$Y$は独立である。

得点の合計$Z = X + Y$ の分散を求める。分散の性質から、独立な確率変数$X$と$Y$に対して、

$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$が成り立つ。ここで、$V(X)$は$X$の分散、$V(Y)$は$Y$の分散を表す。

したがって、$X$と$Y$それぞれの分散を求めればよい。

まず、$X$について考える。

$X$の取りうる値は$2, 4, 6, 8, 10, 12$で、それぞれ確率$1/6$で出現する。

$X$の期待値 $E(X) = \frac{1}{6}(2+4+6+8+10+12) = \frac{42}{6} = 7$

$X^2$の期待値 $E(X^2) = \frac{1}{6}(2^2+4^2+6^2+8^2+10^2+12^2) = \frac{1}{6}(4+16+36+64+100+144) = \frac{364}{6} = \frac{182}{3}$

$X$の分散 $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{182}{3} - 7^2 = \frac{182}{3} - 49 = \frac{182 - 147}{3} = \frac{35}{3}$

次に、$Y$について考える。

$Y$の取りうる値は$2, 3, 4, 5, 6, 7$で、それぞれ確率$1/6$で出現する。

$Y$の期待値 $E(Y) = \frac{1}{6}(2+3+4+5+6+7) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

$Y^2$の期待値 $E(Y^2) = \frac{1}{6}(2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2) = \frac{1}{6}(4+9+16+25+36+49) = \frac{139}{6}$

$Y$の分散 $V(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{139}{6} - (\frac{9}{2})^2 = \frac{139}{6} - \frac{81}{4} = \frac{278 - 243}{12} = \frac{35}{12}$

したがって、$Z$の分散は、

$V(Z) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{3} + \frac{35}{12} = \frac{140 + 35}{12} = \frac{175}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{175}{12}$