2次方程式 $x^2 + mx + m + 3 = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + mx + m + 3 = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題の場合、$a = 1$, $b = m$, $c = m+3$ なので、判別式 $D$ は

$D = m^2 - 4(1)(m+3) = m^2 - 4m - 12$

となります。

重解を持つためには $D = 0$ なので、

$m^2 - 4m - 12 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると

$(m - 6)(m + 2) = 0$

したがって、$m = 6$ または $m = -2$ です。

(1) $m = 6$ のとき、2次方程式は

$x^2 + 6x + 6 + 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

$x = -3$ (重解)

(2) $m = -2$ のとき、2次方程式は

$x^2 - 2x - 2 + 3 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$ (重解)

3. 最終的な答え

$m = 6$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -2$ のとき、重解は $x = 1$