二次関数 $y = \frac{1}{2}x^2 + ax - 4a + 1$ の頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = \frac{1}{2}x^2 + ax - 4a + 1$ の頂点の座標と軸の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた二次関数を平方完成する。

まず、$x^2$の係数である$\frac{1}{2}$で括り出す。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax) - 4a + 1$

次に、$x$の係数$2a$の半分の2乗である$a^2$を足して引く。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 1$

$y = \frac{1}{2}((x+a)^2 - a^2) - 4a + 1$

括弧を外し、整理する。

$y = \frac{1}{2}(x+a)^2 - \frac{1}{2}a^2 - 4a + 1$

従って、頂点の座標は$(-a, -\frac{1}{2}a^2 - 4a + 1)$であり、軸の方程式は$x = -a$である。

3. 最終的な答え

頂点の座標: $(-a, -\frac{1}{2}a^2 - 4a + 1)$

軸の方程式: $x = -a$