1個のサイコロを5回投げるとき、5以上の目が4回以上出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを5回投げるとき、5以上の目が4回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

サイコロを1回投げたとき、5以上の目（5または6）が出る確率は $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。5以上の目が出ない確率は $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ である。

5回中4回5以上の目が出る確率は、二項分布を用いて計算できる。

${}_5 \mathrm{C}_4 p^4 q^1 = {}_5 \mathrm{C}_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

5回中5回5以上の目が出る確率は、

${}_5 \mathrm{C}_5 p^5 q^0 = {}_5 \mathrm{C}_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{243}$

求める確率は、4回以上5以上の目が出る確率なので、上記の2つの確率を足し合わせる。

$\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{243}$