複素数 $\alpha = -1+i$, $\beta = 1+ai$, $\gamma = b+ci$ が与えられている。ここで、$a, b, c$ は実数である。 (1) 原点Oと点A($\alpha$), B($\beta$) について、$OA \perp OB$ であるとき、$a$ の値を求める。 (2) (1) のとき、点B($\beta$) を点A($\alpha$) を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点が C($\gamma$) であったとき、$b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = -1+i$, $\beta = 1+ai$, $\gamma = b+ci$ が与えられている。ここで、$a, b, c$ は実数である。

(1) 原点Oと点A($\alpha$), B($\beta$) について、$OA \perp OB$ であるとき、$a$ の値を求める。

(2) (1) のとき、点B($\beta$) を点A($\alpha$) を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点が C($\gamma$) であったとき、$b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $OA \perp OB$ であることは、ベクトル $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ が直交することを意味する。複素数平面において、これは $\frac{\beta}{\alpha}$ が純虚数であることを意味する。

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1+ai}{-1+i}$ を計算する。

$\frac{1+ai}{-1+i} = \frac{(1+ai)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} = \frac{-1-i-ai-ai^2}{1-i^2} = \frac{-1-i-ai+a}{1-(-1)} = \frac{(a-1) + (-a-1)i}{2} = \frac{a-1}{2} + \frac{-a-1}{2}i$

$\frac{\beta}{\alpha}$ が純虚数であるためには、実部が0でなければならない。

$\frac{a-1}{2} = 0$

$a-1 = 0$

$a = 1$

(2) 点B($\beta$) を点A($\alpha$) を中心として $\frac{\pi}{6}$ だけ回転した点が C($\gamma$) であるとき、

$\gamma = \alpha + (\beta - \alpha) e^{i\frac{\pi}{6}}$

ここで、$\alpha = -1+i$, $\beta = 1+ai = 1+i$ ($a=1$ を代入)

$\beta - \alpha = (1+i) - (-1+i) = 2$

$e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$

$\gamma = -1+i + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = -1+i + \sqrt{3} + i = (\sqrt{3}-1) + 2i$

$\gamma = b+ci$ であるから、

$b = \sqrt{3} - 1$

$c = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $b = \sqrt{3}-1$, $c = 2$