次の方程式を解きます。 (1) $x^3 - 125 = 0$ (2) $x^4 - 11x^2 + 28 = 0$ (3) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $x^3 - 125 = 0$

(2) $x^4 - 11x^2 + 28 = 0$

(3) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 125 = 0$

$x^3 = 125$

$x^3 = 5^3$

$x = 5$ （実数解）

複素数解も含める場合、

$x^3 - 5^3 = 0$

$(x-5)(x^2 + 5x + 25) = 0$

$x = 5$ または $x^2 + 5x + 25 = 0$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-75}}{2} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x^4 - 11x^2 + 28 = 0$

$y = x^2$ とおくと、$y^2 - 11y + 28 = 0$

$(y - 4)(y - 7) = 0$

$y = 4$ または $y = 7$

$x^2 = 4$ より $x = \pm 2$

$x^2 = 7$ より $x = \pm \sqrt{7}$

(3) $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$

$(x-1)(x^2-x+1)=0$

$x = 1$ または $x^2 - x + 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5, \frac{-5 \pm 5\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x = \pm 2, \pm \sqrt{7}$

(3) $x = 1, \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$