(1) $a, b, x, y$ が正の実数で $a + b = 1$ のとき、不等式 $a\sqrt{x} + b\sqrt{y} \leq \sqrt{ax + by}$ を示す。 (2) $a > b > 0$ のとき、不等式 $|-a + 2b| < a$ を証明する。

1. 問題の内容

(1) $a, b, x, y$ が正の実数で $a + b = 1$ のとき、不等式 $a\sqrt{x} + b\sqrt{y} \leq \sqrt{ax + by}$ を示す。

(2) $a > b > 0$ のとき、不等式 $|-a + 2b| < a$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

両辺が正であるから、2乗して考える。

$(a\sqrt{x} + b\sqrt{y})^2 \leq (\sqrt{ax + by})^2$ を示す。

左辺 $= (a\sqrt{x} + b\sqrt{y})^2 = a^2x + 2ab\sqrt{xy} + b^2y$

右辺 $= ax + by = (a + b)(ax + by) = a^2x + aby + abx + b^2y$

したがって、$a^2x + 2ab\sqrt{xy} + b^2y \leq a^2x + aby + abx + b^2y$ を示す。

これは $2ab\sqrt{xy} \leq ab(x + y)$ と同値である。

$a > 0, b > 0$ より、$2\sqrt{xy} \leq x + y$ を示せばよい。

これは相加相乗平均の関係から明らかである。

なぜなら、$x > 0, y > 0$ なので、$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立つ。

したがって、$x + y \geq 2\sqrt{xy}$ が成り立つ。

等号成立は $x = y$ のとき。

以上より、$a\sqrt{x} + b\sqrt{y} \leq \sqrt{ax + by}$ が示された。

(2)

$|-a + 2b| < a$ を示す。

これは $-a < -a + 2b < a$ と同値である。

各辺に $a$ を加えると、$0 < 2b < 2a$

各辺を2で割ると、$0 < b < a$

これは問題文の条件 $a > b > 0$ と一致するので、$|-a + 2b| < a$ は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a\sqrt{x} + b\sqrt{y} \leq \sqrt{ax + by}$

(2) $|-a + 2b| < a$