与えられた2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ を解き、その正の解を $a$ とする。次に、1次不等式 $(a+1)x > 2a + 7$ を解く。最後に、この不等式と $2x - k + 1 < 0$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような整数 $k$ の値を全て求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ を解き、その正の解を $a$ とする。次に、1次不等式 $(a+1)x > 2a + 7$ を解く。最後に、この不等式と $2x - k + 1 < 0$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような整数 $k$ の値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ を解く。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

この場合、$a = 1$, $b = 2$, $c = -4$ であるので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{5}$

したがって、解は $x = -1 + \sqrt{5}$ と $x = -1 - \sqrt{5}$。

(2) (1)で求めた解のうち正の解は $a = -1 + \sqrt{5}$。

このとき、1次不等式 $(a+1)x > 2a + 7$ を解く。

$a+1 = \sqrt{5}$ であるから、$\sqrt{5}x > 2(-1 + \sqrt{5}) + 7$

$\sqrt{5}x > -2 + 2\sqrt{5} + 7$

$\sqrt{5}x > 5 + 2\sqrt{5}$

$x > \frac{5 + 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$x > \frac{5}{\sqrt{5}} + \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$x > \sqrt{5} + 2$

したがって、不等式の解は $x > 2 + \sqrt{5}$。

(3) 不等式 $2x - k + 1 < 0$ を変形すると、 $2x < k - 1$ より $x < \frac{k-1}{2}$ となる。

$x > 2 + \sqrt{5}$ と $x < \frac{k-1}{2}$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど3個となるような整数 $k$ を求める。

$2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$ であるので、$x > 4.236$ を満たす最小の整数は 5。

したがって、$x$ は 5, 6, 7 の3つの整数値をとる。

よって、$7 < \frac{k-1}{2} \le 8$ である必要がある。

$14 < k - 1 \le 16$

$15 < k \le 17$

$k$ は整数であるから、$k = 16, 17$。

$x$が5,6,7の３つだけとなるためには $x < \frac{k-1}{2}$ の条件より、$\frac{k-1}{2}$が8以下でなければならない。

$x = 5, 6, 7$ のみとなるためには $4.236 < 5$, $5 < 6$, $6 < 7$ と $7 < \frac{k-1}{2} \le 8$ を満たす必要がある。

$\frac{k-1}{2}$ が8を超えると8が含まれてしまうため条件を満たさなくなる。

$7 < \frac{k-1}{2} \le 8$ を満たす整数$k$を求める。

$14 < k-1 \le 16$

$15 < k \le 17$

整数 $k$ は $k=16$ または $k=17$

3. 最終的な答え

$k = 16, 17$