与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $a^3 + 8b^3 + 27c^3 - 18abc$ (2) $x^3 + 6xy + y^3 - 8$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $a^3 + 8b^3 + 27c^3 - 18abc$

(2) $x^3 + 6xy + y^3 - 8$

2. 解き方の手順

(1)

$a^3 + 8b^3 + 27c^3 - 18abc$ の因数分解

まず、$8b^3 = (2b)^3$ および $27c^3 = (3c)^3$ と書き換えます。すると、式は $a^3 + (2b)^3 + (3c)^3 - 18abc$ となります。ここで、因数分解の公式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を利用することを考えます。$3abc = 18abc$ となるように考えると、$a=a, b=2b, c=3c$ とすれば、 $3(a)(2b)(3c) = 18abc$ となり、公式が適用できます。

したがって、$a^3 + (2b)^3 + (3c)^3 - 3(a)(2b)(3c) = (a + 2b + 3c)(a^2 + (2b)^2 + (3c)^2 - a(2b) - (2b)(3c) - (3c)(a))$ となります。

これを整理すると、

$a^3 + 8b^3 + 27c^3 - 18abc = (a + 2b + 3c)(a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 2ab - 6bc - 3ca)$

(2)

$x^3 + 6xy + y^3 - 8$ の因数分解

$x^3 + y^3 - 8 + 6xy$ を $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ の形に持っていくことを考えます。 $-8 = (-2)^3$ なので、$z = -2$ と考えられます。そうすると、$x^3 + y^3 + (-2)^3 - 3xy(-2) = x^3 + y^3 - 8 + 6xy$ となります。

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ の公式を利用して、$x^3 + y^3 + (-2)^3 - 3xy(-2) = (x + y - 2)(x^2 + y^2 + (-2)^2 - xy - y(-2) - (-2)x)$ となります。

これを整理すると、

$x^3 + y^3 - 8 + 6xy = (x + y - 2)(x^2 + y^2 + 4 - xy + 2y + 2x)$

3. 最終的な答え

(1) $(a + 2b + 3c)(a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 2ab - 6bc - 3ca)$

(2) $(x + y - 2)(x^2 + y^2 + 4 - xy + 2x + 2y)$