複素数 $z = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ が与えられたとき、$|z|^2$ と $\frac{1}{z}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ が与えられたとき、$|z|^2$ と $\frac{1}{z}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $|z|^2$ の計算:

複素数 $z = a + bi$ の絶対値の2乗は $|z|^2 = a^2 + b^2$ で計算できます。

この問題では、$a = 1$, $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

したがって、

$|z|^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

(2) $\frac{1}{z}$ の計算:

$\frac{1}{z} = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}i}$ を計算します。

複素数の分母を実数化するために、分母の共役複素数 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{z} = \frac{1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}i} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i}{\left(1\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{4}{7} - \frac{2\sqrt{3}}{7}i$

3. 最終的な答え

$|z|^2 = \frac{7}{4}$

$\frac{1}{z} = \frac{4}{7} - \frac{2\sqrt{3}}{7}i$