与えられた点の座標から、以下の点を求めます。 (1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点 (2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点 (3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M (4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

1. 問題の内容

与えられた点の座標から、以下の点を求めます。

(1) 2点A(2, 3), B(8, 9)を結ぶ線分ABを2:1に内分する点

(2) 2点A(1, 4), B(7, -5)を結ぶ線分ABを3:2に外分する点

(3) 2点A(4, 8), B(6, 12)を結ぶ線分ABの中点M

(4) A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を頂点とする△ABCの重心

2. 解き方の手順

(1) 線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は、

$\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right)$で求められます。

ここで、A(2, 3), B(8, 9), $m=2$, $n=1$を代入すると、

$\left(\frac{1\cdot2 + 2\cdot8}{2+1}, \frac{1\cdot3 + 2\cdot9}{2+1}\right) = \left(\frac{2+16}{3}, \frac{3+18}{3}\right) = \left(\frac{18}{3}, \frac{21}{3}\right) = (6, 7)$

(2) 線分ABを $m:n$ に外分する点の座標は、

$\left(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n}\right)$で求められます。

ここで、A(1, 4), B(7, -5), $m=3$, $n=2$を代入すると、

$\left(\frac{-2\cdot1 + 3\cdot7}{3-2}, \frac{-2\cdot4 + 3\cdot(-5)}{3-2}\right) = \left(\frac{-2+21}{1}, \frac{-8-15}{1}\right) = (19, -23)$

(3) 線分ABの中点の座標は、

$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$で求められます。

ここで、A(4, 8), B(6, 12)を代入すると、

$\left(\frac{4+6}{2}, \frac{8+12}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{20}{2}\right) = (5, 10)$

(4) 三角形の重心の座標は、

$\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$で求められます。

ここで、A(3, 2), B(5, 7), C(-2, -3)を代入すると、

$\left(\frac{3+5+(-2)}{3}, \frac{2+7+(-3)}{3}\right) = \left(\frac{6}{3}, \frac{6}{3}\right) = (2, 2)$

3. 最終的な答え

(1) (6, 7)

(2) (19, -23)

(3) (5, 10)

(4) (2, 2)