## (4) 問題の内容

## (4) 問題の内容

ある放物線を、$x$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動すると、放物線 $y=x^2+4x+3$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

## 解き方の手順

1. **逆変換を考える**: 最終的な放物線 $y=x^2+4x+3$ から、もとの放物線に戻るためには、与えられた変換の逆の操作を順番に行えばよい。

2. **平行移動の逆**: $x$軸方向に$-1$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動したことの逆は、$x$軸方向に$1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動することである。したがって、$y=x^2+4x+3$ を$x$軸方向に$1$、$y$軸方向に$-3$だけ平行移動すると、

$y+3 = (x-1)^2 + 4(x-1) + 3$

$y+3 = x^2 -2x + 1 + 4x - 4 + 3$

$y+3 = x^2 + 2x$

$y = x^2 + 2x - 3$

3. **対称移動の逆**: $x$軸に関して対称移動したことの逆も、$x$軸に関して対称移動することである。したがって、$y = x^2 + 2x - 3$ を$x$軸に関して対称移動すると、

$-y = x^2 + 2x - 3$

$y = -x^2 - 2x + 3$

## 最終的な答え

$y = -x^2 - 2x + 3$

## (5) 問題の内容

放物線 $y=2x^2+6x+4$ を$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動し、更に$y$軸に関して対称移動すると、放物線 $y=2x^2-2x+3$ に移った。定数$p, q$の値を求めよ。

## 解き方の手順

1. **平行移動**: 放物線 $y=2x^2+6x+4$ を$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動すると、

$y-q = 2(x-p)^2 + 6(x-p) + 4$

$y = 2(x^2 - 2px + p^2) + 6x - 6p + 4 + q$

$y = 2x^2 - 4px + 2p^2 + 6x - 6p + 4 + q$

$y = 2x^2 + (6-4p)x + 2p^2 - 6p + 4 + q$

2. **y軸に関する対称移動**: 上記の放物線を$y$軸に関して対称移動すると、$x$を$-x$に置き換える。

$y = 2(-x)^2 + (6-4p)(-x) + 2p^2 - 6p + 4 + q$

$y = 2x^2 - (6-4p)x + 2p^2 - 6p + 4 + q$

$y = 2x^2 + (4p-6)x + 2p^2 - 6p + 4 + q$

3. **係数比較**: 最終的な放物線 $y=2x^2-2x+3$ と係数を比較する。

$4p-6 = -2$

$2p^2 - 6p + 4 + q = 3$

4. **pの計算**: $4p-6 = -2$ より、$4p = 4$ なので、$p=1$

5. **qの計算**: $2p^2 - 6p + 4 + q = 3$ に $p=1$ を代入すると、

$2(1)^2 - 6(1) + 4 + q = 3$

$2 - 6 + 4 + q = 3$

$0 + q = 3$

$q = 3$

## 最終的な答え

$p = 1, q = 3$