三角形ABCにおいて、線分ABを3:1に内分する点をM、線分ACを2:1に内分する点をNとする。2つの線分BNとCMの交点をP、直線APとBCの交点をQとする。 (1) $\vec{AP}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表せ。 (2) $\vec{AQ}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表せ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分ABを3:1に内分する点をM、線分ACを2:1に内分する点をNとする。2つの線分BNとCMの交点をP、直線APとBCの交点をQとする。

(1) $\vec{AP}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表せ。

(2) $\vec{AQ}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AP}$を求める。

点Pは線分BN, CMの交点なので、実数$s, t$を用いて

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AN} = (1-t)\vec{AC} + t\vec{AM}$と表せる。

$\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{AC}$, $\vec{AM} = \frac{3}{4}\vec{AB}$より、

$\vec{AP} = (1-s)\vec{AB} + \frac{2s}{3}\vec{AC} = \frac{3t}{4}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}$

$\vec{AB}, \vec{AC}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{3t}{4}$, $\frac{2s}{3} = 1-t$

$4-4s = 3t$, $2s = 3-3t$

$4-4s = 3t$, $4s = 6-6t$

足して、$4 = 3t+6-6t$

$3t = 2$, $t = \frac{2}{3}$

$1-s = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$, $s = \frac{1}{2}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

(2) $\vec{AQ}$を求める。

点Qは直線AP上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{AQ} = k\vec{AP} = \frac{k}{2}\vec{AB} + \frac{k}{3}\vec{AC}$と表せる。

また、点Qは直線BC上にあるので、実数$l$を用いて

$\vec{AQ} = (1-l)\vec{AB} + l\vec{AC}$と表せる。

$\vec{AB}, \vec{AC}$は一次独立なので、

$\frac{k}{2} = 1-l$, $\frac{k}{3} = l$

$\frac{k}{2} = 1 - \frac{k}{3}$

$3k = 6 - 2k$

$5k = 6$, $k = \frac{6}{5}$

$\vec{AQ} = \frac{6}{5} (\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC})$

$\vec{AQ} = \frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

(2) $\vec{AQ} = \frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}$