あるりんご農園で、りんごの色と形について基準を満たしているかを等級分けしている。Aは「色が基準を満たしているりんごを取り出す」事象、Bは「形が基準を満たしているりんごを取り出す」事象とする。(1) 形が基準を満たしているとき、色が基準を満たしていない条件付き確率（ア）と、形が基準を満たしていないとき、色が基準を満たす条件付き確率（イ）を求める。(2) $P(B) = \frac{2}{5}$ かつ $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$のとき、取り出したりんごが最高級品、特選、家庭用である確率を求める。

1. 問題の内容

あるりんご農園で、りんごの色と形について基準を満たしているかを等級分けしている。Aは「色が基準を満たしているりんごを取り出す」事象、Bは「形が基準を満たしているりんごを取り出す」事象とする。(1) 形が基準を満たしているとき、色が基準を満たしていない条件付き確率（ア）と、形が基準を満たしていないとき、色が基準を満たす条件付き確率（イ）を求める。(2) $P(B) = \frac{2}{5}$ かつ $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$のとき、取り出したりんごが最高級品、特選、家庭用である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

アについて：形が基準を満たしているという条件の下で、色が基準を満たしていない確率を求めるので、$P_B(A^c)$を求める必要がある。ここで$A^c$はAの余事象を表す。

$P_B(A^c) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)}$

イについて：形が基準を満たしていないという条件の下で、色が基準を満たしている確率を求めるので、$P_{B^c}(A)$を求める必要がある。ここで$B^c$はBの余事象を表す。

$P_{B^c}(A) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)} = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)}$

(2)

まず、$P(A)$を求める。$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$で、$P(B) = \frac{2}{5}$なので、

$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$

$\frac{1}{10} = \frac{2}{5} \times P_B(A)$

$P_B(A) = \frac{1}{10} \times \frac{5}{2} = \frac{1}{4}$

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$より、

$P(A \cap B) = P(B) P_B(A) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$

条件より、$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$

また、$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$なので、$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$

また、$P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$

また、$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B))$

最高級品である確率は$P(A \cap B)$

特選である確率は$P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$

家庭用である確率は$P(A^c \cap B^c)$

まず、$P(A)$を求める。

$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$

$P(B) = \frac{2}{5}$

$P_B(A) = \frac{1}{4}$

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$なので、$P(A \cap B^c)$を求める。

$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$だから、

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_A(B)}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$より、

$P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c)$

$P(A^c \cap B^c) = 1 - (P(A) + P(B) - P(A \cap B))$

(1)

$P_B(A^c) = \frac{P(B) - P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{1}{10}}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{4}{10} - \frac{1}{10}}{\frac{4}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{4}{10}} = \frac{3}{4}$

$P_{B^c}(A) = \frac{P(A) - P(A \cap B)}{1 - P(B)} = \frac{P(A) - \frac{1}{10}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{P(A) - \frac{1}{10}}{\frac{3}{5}}$

$P(A) = \frac{1}{2}$と仮定して、$P_{B^c}(A) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{10}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{5}{10} - \frac{1}{10}}{\frac{6}{10}} = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{6}{10}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

(2)

最高級品：$P(A \cap B) = \frac{1}{10}$

特選：$P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} - 2 \times \frac{1}{10} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} - \frac{2}{10} = \frac{7}{10}$

家庭用：$P(A^c \cap B^c) = 1 - (\frac{1}{2} + \frac{2}{5} - \frac{1}{10}) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

(1) ア: ④ ($P_B(A^c)$), イ: ② ($P_A(A)$を$P_B(A)$と誤読した場合)または① ($P_A(A)$を$P_A(A)$のまま解釈した場合), 正解は$P_{B^c}(A)=\frac{2}{3}$、問題文の選択肢にありません。

もし$P(A)=\frac{1}{4}$と仮定したら $P_{B^c}(A)=0$ となり，選択肢のいずれも該当しません。

もし$P(A)=\frac{1}{5}$と仮定したら$P_{B^c}(A)=-\frac{1}{6}$ となりありえません。

(2) 最高級品: $\frac{1}{10}$, 特選: $\frac{7}{10}$, 家庭用: $\frac{3}{10}$