新幹線の指定席が100席あり、満席である。乗客が$1/100$の確率で乗らない場合、飛び乗りで空席を見つけられる確率を求める。

1. 問題の内容

新幹線の指定席が100席あり、満席である。乗客が$1/100$の確率で乗らない場合、飛び乗りで空席を見つけられる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、100席のうち、空席になる席数の期待値を計算します。

各席が空席になる確率は$1/100$なので、空席の期待値は以下のようになります。

$100 \times \frac{1}{100} = 1$

つまり、平均して1席が空席になると考えられます。

ここで、飛び乗った人が空席を見つける確率を考えます。

空席が少なくとも1席あれば、飛び乗った人は空席を見つけられます。

空席が0席である確率を計算し、1から引くことで空席が少なくとも1席ある確率を求めます。

各席が空席になるかどうかは独立であると仮定すると、空席の席数は二項分布に従います。

二項分布の確率質量関数は以下のように表されます。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=100$ (席数), $p=1/100$ (各席が空席になる確率), $k$は空席の数です。

空席が0席である確率は、

$P(X=0) = \binom{100}{0} (\frac{1}{100})^0 (1-\frac{1}{100})^{100-0}$

$P(X=0) = (1) (1) (\frac{99}{100})^{100}$

$P(X=0) = (\frac{99}{100})^{100} \approx 0.366032$

空席が少なくとも1席ある確率は、

$1 - P(X=0) = 1 - (\frac{99}{100})^{100} \approx 1 - 0.366032 = 0.633968$

小数点以下3桁まで求めると、0.634となります。

3. 最終的な答え

0.634