与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n}$の性質を利用して、それぞれの項を計算する。

まず、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であることを利用する。

与えられた式を変形すると、

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$= 3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7\cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 - 4n + 2]$

$= n(n^2 - 2n + 1)$

$= n(n-1)^2$

3. 最終的な答え

$n(n-1)^2$