1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、$\angle AOC = 120^\circ$とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点Qを$\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{OQ}$となるようにとる。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$とおく。三角形OPQの面積を求める問題。穴埋め形式で、$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}, t, |\overrightarrow{OP}|, |\overrightarrow{OQ}|$, 三角形OPQの面積Sを求める。

1. 問題の内容

1辺の長さが1のひし形OABCにおいて、$\angle AOC = 120^\circ$とする。辺ABを2:1に内分する点をPとし、直線BC上に点Qを$\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{OQ}$となるようにとる。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$とおく。三角形OPQの面積を求める問題。穴埋め形式で、$\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}, t, |\overrightarrow{OP}|, |\overrightarrow{OQ}|$, 三角形OPQの面積Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表す。

Pは線分ABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

したがって、(1)は$\frac{1}{3}$, (2)は$\frac{2}{3}$

(3) $\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表す。

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

ひし形OABCより$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$なので

$\overrightarrow{OQ} = (1-t)\overrightarrow{b} + t(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = t\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

したがって、(3)は$t\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$の$t$

(4) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を計算する。

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{120^\circ} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

したがって、(4)は$-\frac{1}{2}$

(5) $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$を利用して、$t$の値を求める。

$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = (\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) \cdot (t\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{t}{3}|\overrightarrow{a}|^2 + \frac{1}{3}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \frac{2t}{3}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} + \frac{2}{3}|\overrightarrow{b}|^2 = \frac{t}{3} - \frac{1}{6}t - \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = 0$

$\frac{t}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}t - \frac{1}{6} = 0$

$\frac{1}{6}t + \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{6}t = -\frac{1}{2}$

$t = -3$

したがって、(5)は0であることから、(6)は$-3$

(7) $|\overrightarrow{OP}|$の値を求める。

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

$|\overrightarrow{OP}|^2 = (\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) \cdot (\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) = \frac{1}{9}|\overrightarrow{a}|^2 + \frac{4}{9}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \frac{4}{9}|\overrightarrow{b}|^2 = \frac{1}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{9} = \frac{1}{9} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

$|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(8) $|\overrightarrow{OQ}|$の値を求める。

$\overrightarrow{OQ} = -3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

$|\overrightarrow{OQ}|^2 = (-3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot (-3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = 9|\overrightarrow{a}|^2 - 6\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + |\overrightarrow{b}|^2 = 9 - 6(-\frac{1}{2}) + 1 = 9 + 3 + 1 = 13$

$|\overrightarrow{OQ}| = \sqrt{13}$

(9) 三角形OPQの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{13} = \frac{\sqrt{39}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $-3$

(4) $-\frac{1}{2}$

(5) $0$

(6) $-3$

(7) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(8) $\sqrt{13}$

(9) $\frac{\sqrt{39}}{6}$