5枚のカード（青2枚、黄2枚、赤1枚）から1枚引いて元に戻す試行を繰り返す。青を引くと2点、黄を引くと1点、赤を引くと-1点を得る。(9)3回の試行で合計1点となる確率を求めよ。(10)5回の試行で合計3点となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

5枚のカード（青2枚、黄2枚、赤1枚）から1枚引いて元に戻す試行を繰り返す。青を引くと2点、黄を引くと1点、赤を引くと-1点を得る。(9)3回の試行で合計1点となる確率を求めよ。(10)5回の試行で合計3点となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(9) 3回の試行で合計1点となる場合を考える。

* 青1回、赤1回、黄1回：$2 + 1 - 1 = 2 \ne 1$

* 黄1回、黄1回、赤1回：$1+1-1=1$

* 赤1回、赤2回：$(-1)*3<1$

* 青1回、赤2回：$2-1-1=0<1$

合計が1点となるのは、黄2回、赤1回の場合のみである。

3回の試行で、黄を2回、赤を1回引く確率は、

$P(\text{黄2回、赤1回}) = \binom{3}{2, 1} \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{1}{5}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{12}{125}$

(10) 5回の試行で合計3点となる場合を考える。

合計3点となる組み合わせは以下の通り。

* 青1回、黄1回、赤3回：$2 + 1 - 3 = 0 \ne 3$

* 青1回、黄2回：$2 + 1 + 1 = 4 \ne 3$

* 青1回、赤1回、黄2回：$2 -1 +1+1=3$. なので、青1回、黄2回、赤1回の組み合わせ

* 黄3回：$1+1+1+0+0 =3$. なので、黄3回、残り2回は赤0回, 青0回.

* 赤2回, 青2回, 黄1回：-1-1+2+2+1=3

5回の試行で、青1回、黄2回、赤1回、残り1回は何でも良いというわけではないので、それも考慮する必要がある。

青1回、黄2回、赤1回、無得点(青、黄、赤以外のカード)1回はありえない。

考えられるパターンは

* 青1回、黄2回、赤1回、その他1回(ここでは、青1回、黄2回、赤1回、黄1回とする)

* 黄3回、赤2回

青1回、黄2回、赤1回の場合の数:

青1回、黄2回、その他2回の場合の数:

$P(\text{青1回、黄2回、赤2回}) = \binom{5}{1, 2, 2, 0} \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{5!}{1!2!0!2!} \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{1}{5}\right)^1 = \binom{5}{1} \binom{4}{2} \binom{2}{1} \frac{2}{5} \frac{4}{25} \frac{1}{5} = 5 \cdot 6 \frac{8}{625} = \frac{240}{625} = \frac{48}{125} = \frac{48}{125}$

黄3回、赤2回の場合の数:

$P(\text{黄3回、赤2回}) = \binom{5}{3, 2} \left(\frac{2}{5}\right)^3 \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{5!}{3!2!} \left(\frac{8}{125}\right) \left(\frac{1}{25}\right) = 10 \cdot \frac{8}{3125} = \frac{80}{3125} = \frac{16}{625}$

合計の確率は、$\frac{240}{625} + \frac{16}{625} = \frac{256}{625}$

3. 最終的な答え

(9) $\frac{12}{125}$

(10) $\frac{256}{625}$