5人でじゃんけんを1回するとき、1人だけが勝つ確率と、ちょうど3人が勝つ確率を求める問題です。

1. 問題の内容

5人でじゃんけんを1回するとき、1人だけが勝つ確率と、ちょうど3人が勝つ確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、5人が出す手の組み合わせの総数を考えます。各人がグー、チョキ、パーの3通りの手を出すので、組み合わせの総数は $3^5 = 243$ 通りです。

次に、1人だけが勝つ場合を考えます。

まず、誰が勝つかを決めます。これは5通りあります。

次に、勝つ人が出した手を決めます。これは3通りあります（グー、チョキ、パー）。

最後に、残りの4人は勝った人に負ける手を出す必要があります。つまり、4人全員が勝った手と異なる手を出す必要があります。

例えば、勝った人がグーの場合、他の4人はチョキかパーを出します。つまり、各人が2通りの手を出すので、$2^4 = 16$ 通りです。

ただし、全員が同じ手（例えば全員チョキ）を出すとあいこになるので、このパターンは除外する必要があります。除外する必要はありません。なぜなら、すでに「1人だけが勝つ」という条件のもとで考えているからです。

したがって、1人だけが勝つ場合の数は、$5 \times 3 \times 1 = 15$。間違いました。

他の4人が全員同じ手だとあいこになってしまい、「1人だけが勝つ」という条件に反してしまいます。例えば、勝った人がグーで、他の4人全員がチョキだとあいこになります。

したがって、1人だけが勝つ場合の数は、勝つ人の選び方（5通り）x どの手で勝つか（3通り）x 残りの4人の手の出し方=$5 \times 3 \times 1 = 15$通りではありません。

1人だけが勝つ場合を考えます。まず、誰が勝つかを選びます。これは5通りです。次に、勝つ人が出す手を決めます（グー、チョキ、パーの3通り）。そして、残りの4人は全員負ける手を出す必要があります。これは1通りしかありません。例えば、勝つ人がグーを出した場合、残りの4人はチョキしか出せません。したがって、1人だけが勝つ場合の数は $5 \times 3 \times 1 = 15$ 通りです。

よって、1人だけが勝つ確率は、$\frac{15}{243} = \frac{5}{81}$ です。

次に、3人だけが勝つ場合を考えます。

まず、誰が勝つかを選びます。これは $_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

次に、勝つ3人が出す手を決めます。これは3通りあります（グー、チョキ、パー）。

最後に、残りの2人は勝った人に負ける手を出す必要があります。これは1通りしかありません。例えば、勝った3人がグーを出した場合、残りの2人はチョキしか出せません。

したがって、3人だけが勝つ場合の数は、$10 \times 3 \times 1 = 30$ 通りです。

よって、3人だけが勝つ確率は、$\frac{30}{243} = \frac{10}{81}$ です。

3. 最終的な答え

1人だけが勝つ確率は $\frac{5}{81}$ です。

ちょうど3人が勝つ確率は $\frac{10}{81}$ です。