12本中3本が当たりのくじがある。このくじから同時に3本引くとき、1本だけ当たる確率を求める。

1. 問題の内容

12本中3本が当たりのくじがある。このくじから同時に3本引くとき、1本だけ当たる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、3本引くときのすべての組み合わせを計算する。これは、12本から3本を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_3$で表される。

$_{12}C_3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

次に、1本だけ当たり、残りの2本が外れる組み合わせを計算する。

当たりくじを1本選ぶ組み合わせは$_{3}C_1$で表される。

$_{3}C_1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} = 3$

外れくじを2本選ぶ組み合わせは$_{9}C_2$で表される。

$_{9}C_2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36$

したがって、1本だけ当たり、残りの2本が外れる組み合わせは、

$_{3}C_1 \times _{9}C_2 = 3 \times 36 = 108$

求める確率は、

$\frac{108}{220} = \frac{54}{110} = \frac{27}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{55}$