袋の中に白玉4個、黒玉6個、赤玉3個、青玉1個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、黒玉が2個以上出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉4個、黒玉6個、赤玉3個、青玉1個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、黒玉が2個以上出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋の中にある玉の総数は $4 + 6 + 3 + 1 = 14$ 個である。

3個の玉を取り出す組み合わせの総数は $_{14}C_3$ 通りである。

$_{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$ 通り

黒玉が2個以上出る場合は、黒玉が2個の場合と、黒玉が3個の場合がある。

(1) 黒玉が2個の場合：

黒玉を2個選び、残りの1個を黒玉以外の玉から選ぶ。

黒玉の選び方は $_{6}C_2$ 通り。

黒玉以外の玉は $14 - 6 = 8$ 個なので、残りの1個の選び方は $_{8}C_1$ 通り。

この場合の数は $_{6}C_2 \times _{8}C_1 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 8 = 15 \times 8 = 120$ 通り。

(2) 黒玉が3個の場合：

黒玉を3個選ぶ。

黒玉の選び方は $_{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

黒玉が2個以上出る場合の数は、$120 + 20 = 140$ 通り。

したがって、黒玉が2個以上出る確率は、

$\frac{140}{364} = \frac{70}{182} = \frac{35}{91} = \frac{5}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{13}$