数列 $\{a_n\}$ に対して、不等式 $|a_n - 3| < 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ が成り立つとき、$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ となる理由を問う問題です。 ただし、$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 0$ であることは既知とします。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ に対して、不等式 $|a_n - 3| < 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ が成り立つとき、$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ となる理由を問う問題です。

ただし、$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 0$ であることは既知とします。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $|a_n - 3| < 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ を利用します。

$\lim_{n\to\infty} 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ を計算します。$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 0$ であることから、

$\lim_{n\to\infty} 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 2 \cdot \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 2 \cdot 0 = 0$

ここで、数列の極限に関する重要な定理（はさみうちの原理、または追い出しの原理）を用います。

$|a_n - 3|$ は常に非負であり、$|a_n - 3| < 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$ が成り立つので、

$0 \le |a_n - 3| < 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

という不等式が成り立ちます。

$\lim_{n\to\infty} 0 = 0$ であり、$\lim_{n\to\infty} 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = 0$ であるため、はさみうちの原理より、

$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$0 \le |a_n - 3| < 2(\frac{2}{3})^{n-1}$ であり, $\lim_{n\to\infty} 2(\frac{2}{3})^{n-1} = 0$ であるから, はさみうちの原理より $\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ となります。