与えられた3つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (3x+1)^2 dx$ (2) $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$ (3) $\int x\sqrt{x-1} dx$ (ただし、$\int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}) dx$ として計算してもよい)

1. 問題の内容

与えられた3つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (3x+1)^2 dx$

(2) $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$

(3) $\int x\sqrt{x-1} dx$ (ただし、$\int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}) dx$ として計算してもよい)

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x+1)^2 dx$

まず、$(3x+1)^2$を展開します。

$(3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int (9x^2 + 6x + 1) dx = 9\int x^2 dx + 6\int x dx + \int 1 dx = 9(\frac{x^3}{3}) + 6(\frac{x^2}{2}) + x + C = 3x^3 + 3x^2 + x + C$

(2) $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

$\int \frac{dx}{(2x+3)^3} = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(2x+3)^2} + C$

(3) $\int x\sqrt{x-1} dx$

$t = x-1$ と置換すると、$x = t+1$ となり、$dx = dt$ となります。

$\int x\sqrt{x-1} dx = \int (t+1)\sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} + t^{1/2}) dt = \int t^{3/2} dt + \int t^{1/2} dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} + \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$

あるいは、$\int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}) dx = \int ((x-1)^{3/2} + (x-1)^{1/2}) dx$ として計算すると、

$\int (x-1)^{3/2} dx + \int (x-1)^{1/2} dx = \frac{(x-1)^{5/2}}{5/2} + \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$

結果は同じになります。

3. 最終的な答え

(1) $3x^3 + 3x^2 + x + C$

(2) $-\frac{1}{4(2x+3)^2} + C$

(3) $\frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$